共轭类长与循环子群的共轭置换性

Some quantitative properties about the conjugacy class sizes of some elements (subgroups) and the conjugate-permutability of some cyclic subgroups are one of the important subjects covered by finite group theory. It is noteworthy that the cojugacy class sizes of some elements(subgroups), the conjugate- -permutability of some cyclic subgroups and the structure of a finite group are closely related and linked. Here, we concentrate on the investigation of their mutual relationships, the main objectives of this project are the following:..1. To investigate the structure of the finite groups and the conjugacy class graphs according to the longest or the shortest conjugacy class sizes of some elements(subgroups). While, the thought about characterization of the "order" is introduced into the study of the corresponding questions...2. To explore the mutual relationships between the conjugacy class sizes of some elements and the conjugate-permutability of some subgroups by using localization idea and graph theory. Furthermore, by taking advantage of the software Magma, we intend to establish the sufficient or even necessary and sufficient conditions between the conjugacy class sizes and the conjugate-permutability of the corresponding cyclic subgroups...3. To investigate the structure of the finite groups by using mutual penetration from ideas and methods about conugacy class sizes of some elements(subgroups) and conjugate-permutable subgroups.

元素（子群）的共轭类长的数量性质和循环子群的共轭置换性是有限群论研究的重要课题之一。本项目围绕某些元素（子群）的共轭类长与循环子群的共轭置换性之间的关系展开，主要研究如下内容：..1、从元素(子群)的最长、最短共轭类长的角度出发，来研究它们对有限群结构的影响以及它们与群的共轭类图之间的关系，并把有关“阶”的刻画思想引入到相关问题的讨论中来。..2、研究元素的共轭类长与循环子群的共轭置换性之间的相互关系，把局部化的思想和图论的相关知识应用到研究中来，并利用Magma进行相应的数据分析，建立共轭类长与相应循环子群的共轭置换性之间的充分甚至充要条件。..3、把与元素(子群)的共轭类和共轭置换相关的研究思想与方法相互渗透到彼此的研究中来最终达到研究有限群结构的目的。

元素共轭类的数量性质以及循环子群的共轭置换性是有限群论研究的重要课题之一。本项目共分四部分研究内容：..I. 本项目利用局部化的思想，研究了某些元素的共轭类长的一些数量性质与有限群的结构之间的关系。在研究过程中我们遵循两个原则：一、利用尽可能少的元素的共轭类长；二、共轭类长的数量性质尽可能更具有一般性。与此同时，我们也利用局部化的思想研究了子群的广义正规性与有限群的p-幂零性之间的关系。..II. 在研究内容I的基础上，我们也研究了群G中正规子群的G-共轭类个数与群G的结构之间的关系，确切的说，我们在G是非完备的情形下研究了G中的正规子群中所含的共轭类个数是1，m与m+1时有限群G的分类，这里m是一个正整数。..III. 由于极小子群都是循环的，我们研究了极小子群的共轭置换性与群G的结构之间的关系。除此之外，我们还考虑了循环的极大子群，Sylow子群的局部共轭置换性与群G的超可解性之间的关系。..IV. 作为共轭类研究思想的应用，我们也研究了某些子群的共轭类长与有限群结构之间的关系。除此之外，我们也尝试着研究了当一个非平凡对称设计的完全自同构群G是一个块传递的点本原群时，给出了群G的结构的一个刻画。另外，我们也对非超可解的极大子群指数为素数的有限群做了一定的刻画。..总之，本项目依据研究内容、技术路线和研究目标，各项工作顺利开展，获得一系列研究成果。不仅实现预期的研究目标，而且也对一些新的研究内容进行了初步的探索。