共轭类长的数量性质与群结构的研究

The research on the relation between conjugacy classes sizes and the structure of groups is an important part in group theory all the time. In our project, we will investigate the influence of the conjugacy class sizes of the whole group or the set of conjugacy class sizes of some elements of the group (for instance, primary and biprimary elements, p-regular elements) on the structure of groups when the number of some partial conjugacy class sizes is 3 or 4, especially when the smallest two given non-trivial conjugacy class sizes are divisible.Our result will be helpful to find which part of the conjugacy class sizes of elements can determine the structure of the whole group. This is an active research area, since many research teams are interested in it with many papers published in internationally recognized journals.

共轭类长的数量性质与群结构之间的关系一直以来都是群论研究的重要课题之一。本项目将研究群的共轭类长具有更广泛的数量性质的群的结构，并用局部分析的方法研究部分元素（如素数幂阶元与双素数幂阶元、p-正则元等）的共轭类长的个数为3或4且具有特定的数量性质时群的结构，重点研究给定的条件下极小的两个非平凡的共轭类长具有整除关系的群的可解性和结构。研究结果将揭示对群结构起决定性作用的元素的共轭类长。所有的这些课题都与国际潮流接轨，处于该领域研究的前沿。

群论是现代数学的一个重要分支，而群论研究的核心内容是研究各种群的构造。在研究过程中，人们发现有限群的结构与共轭类长的数量性质之间有着重要的联系。再加上有限群的元素的共轭类长与复数域上的不可约特征标的次数之间有着许多平行的性质以及特征标理论在有限群研究中的重要性，使得共轭类的数量性质与有限群的结构这个课题成为国际上的研究热点。.本项目重点研究了共轭类长具有某些特定数量性质的有限群的结构和性质，着重按以下三个方面展开：1. 素数幂、双素数幂阶元的共轭类长的个数为3或4 时有限群的结构；2. 正规子群中元素的G-共轭类长的数量性质对有限群结构的影响；3. 不变共轭类长对有限群结构的影响；4. 由于共轭的元素必同阶。本项目中我们还研究了用同阶元长的集合来刻画单群。.本项目的研究成果在很大程度上揭示了对有限群结构起决定性的元素。本研究团队关于本项目课题的研究，在共完成20篇论文，其中正式发表19篇，1篇待发表，18篇被SCI检索收录，按计划完成了研究任务。