具边界控制和观测的变系数弱耦合波板系统的适定正则性

无穷维线性系统理论过去近三十年来主要的发展是Salamon-Weiss适定和正则线性系统理论。我们分别研究具有三种不同类型边界控制和观测的高维变系数波板方程的弱耦合系统在Salamon-Weiss意义下的的适定性和正则性。系统的适定性通过结合无穷维系统控制理论和对波板耦合方程所形成的非齐次边值问题解的正则性估计而得到。系统的正则性则通过研究一个相应的椭圆边值问题的边界极限性质而获得，并求出系统的直接输出算子。项目研究的成功将把这类具有很强物理背景的系统纳入适定正则线性系统的理论框架。黎曼几何方法是本项目所要研究的高维变系数波板弱耦合系统的有效工具。

本项目分别研究了如下四个问题。首先，我们考虑了具有边界Dirichlet控制和同位观测的高维变系数Schrodinger传递方程在Salamon-Weiss意义下的适定正则性。通过黎曼几何方法结合无穷维系统控制理论，证明了该系统是适定正则的，并且直接输出算子为零。该研究论文于2014年8月份被《系统科学与数学》杂志录用。其次，我们研究了一类定义在n维黎曼流形上的非线性积微分方程所描述的振动系统的边界可镇定性问题。在对黎曼流形作出适当假设条件下，利用能量乘子方法证明了在边界反馈下闭环系统的指数稳定性。该研究结果发表在Journal of Dynamical and Control Systems。再次，我们考虑了一个一维不稳定的波方程在边界反馈下的稳定性问题。在仅观测边界位移的条件下，我们利用无穷维观测器理论结合Backstepping方法设计了控制器，证明了闭环系统的强稳定性。该研究结果发表在 IEEE Transactions on Automatic Control。最后，我们研究了一类含有未知参数的一维线性抛物系统的模型参考自适应控制问题。利用有限维系统的变结构控制理论设计了自适应切换控制器，然后证明了状态误差系统的指数衰减性，并且可通过事先调节控制器参数实现任意的指数衰减率。该研究成果发表在Journal of Systems Science and Complexity。