时滞生物数学模型分支与混沌理论及应用

本项目拟用分支理论的方法，对二阶具时滞的生物数学模型、神经网络模型，研究其出现鞍结分支、超临界分支、叉形分支、周期解分支，次谐波分支的条件，获得更多的分析方法，丰富分支理论的内容。在高阶具有时滞的生物数学模型、神经网络模型中寻找具有混沌现象的模型，研究其由分支通向混沌的途径，如通过倍周期分岔通向混沌等，给出分析和数值的结果。对高阶生物数学模型和神经网络模型，利用时滞反馈控制等方法，用时滞作为参数，得到时滞系统的分支现象，给出在不同的参数区域中解的各种动力学性质，提供对具体模型的解进行控制的方法，并获得一般性的规律。.将在探索分支理论应用于时滞生物数学模型和时滞神经网络的分支与混沌方面获得一些新思路、新方法，发展时滞系统中的分支理论。通过研究时滞生物数学模型，理解自然界中的一些生物学现象，为揭示其自然规律提供依据。

上个世纪以来，自然科学和社会科学的许多学科中提出了大量具有时滞的非线性系统问题，这些问题的提出，大大地推动了具时滞的非线性系统的研究，使其在理论上和应用上都得到很大发展。.本项目针对以上的问题，利用无穷小生成元表示法将一类非线性时滞系统化为函数空间中动力系统的形式，用分支理论的方法，对一些具体的时滞系统研究其出现周期解分支、分支方向、周期解稳定性的条件。在具有时滞的生物数学模型中寻找具有混沌现象的模型，研究其由分支通向混沌的途径，如通过倍周期分岔通向混沌等，给出分析和数值的结果。利用时滞反馈控制等方法，用时滞作为参数，当参数连续变化时，得到时滞系统的分支现象，给出在不同的参数区域中系统解的各种动力学性质，以达到对系统的混沌解进行控制的目的。.本项目按计划进行。主要取得了如下成果：.对几类非线性时滞生物数学系统，利用无穷小生成元表示法将其化为函数空间中动力系统的形式。用规范型和分支理论的方法，研究了这些系统的解的各种性质，得到了周期解分支、周期解分支方向和稳定性的判定条件。利用泛函方程的全局Hopf分支理论，得到了一类具有两个时滞的比率依赖捕食-食饵系统的周期解分支的全局存在性。.对几类具时滞的三种群食物链模型研究了其分支和出现混沌的性质。当参数经过分支点时，平衡点的稳定性发生变化，系统分支出稳定的周期解．利用数值模拟，发现当分支参数到达某个区间时，系统出现分支，并通过倍周期分支，出现混沌解现象。该研究丰富了对连续型时滞生物数学模型具有混沌解的认识。.研究了一类具有复杂比率依赖的三种群食物链系统。加入时滞反馈控制，利用时滞作为参数，当参数连续变化时，得到时滞系统的分支现象，给出在不同的参数区域中系统解的各种动力学性质。达到了对系统的混沌解进行控制的目的。.利用重合度理论，研究了几类时滞生物数学模型中周期解的多重性问题，得到了存在多个正周期解的充分条件。