基于拟阵理论的二进制线性分组码的设计及其应用研究

Directly,the error- correcting cability which is related to the maximum minimum distance d of linear block codes impacts the performance of communication system.In this project, firstly,matroid theory will be applied for designing binary linear block codes with rate 0.5 including the research of dual codes and self dual codes;secondly, binary QC codes with rate 1/p will be considered ,furthermore, researching the(72，36，16)QC code;lastly,the research of QC-LDPC code is considered. The strict relationship between matroid theory and error correcting code be founded through the research of questions in this project,in addition, application the relationship to design the linear block codes.The project will enrich and develope the applications of matroid theory in error correcting codes.In addition,the codes constructed above can be applied widely to wireless communication system in the near future,especially in the research on the fifth generation(5G) mobile communication network.

码的纠错能力直接影响到通信系统的性能，而码的纠错能力与码的最小距离直接相关。本项目拟利用拟阵理论进行码率为0.5的线性分组码的设计，包括对它们的对偶码与自对偶码的研究；借助拟阵理论设计码率为1/p的准循环码进而对(72,36,16)二进制线性准循环码进行研究；最后利用拟阵理论进行准循环LDPC码的设计，以达到通过提高码的纠错能力进一步提高通信系统性能的目的。本项目的研究力争建立拟阵理论与纠错码之间严密的关系式，从而利用该关系式来指导线性分组码的设计。该研究将丰富和发展拟阵理论在纠错码中的应用，同时本项目所构造的码将会更好地服务于未来的无线通信系统，特别是对将要研究的第5代移动通信网络（5G）的技术研发具有重大的意义。

本项目主要研究基于拟阵理论构造线性分组码，得出了下列重要结果.（1）基于拟阵理论，提出可变拟阵搜索算法，基于该算法构造码率为1/p 的二进制系统准循环码，得到两个最小距离比现有最优码更大的准循环码。.（2）提出了码率1/2的二进制移位对偶码的概念，得到一个有关最优移位对偶码定理，利用该定理提出了该类码的构造方法。得到（18,9,6）,（20,10,6）,（18,14,8）,（34,17,8）码的最小距离比已有的自对偶码的最小距离更大。.（3）基于拟阵理论，提出了一种搜索算法，构造了一种高码率的 LDPC码在AWGN信道下与现有码的性能比较我们构造的码的性能更好。对（72,36,16）准循环码的研究，提出了一种搜索算法，证明了不存在（72,36,16）准循环码，这个是一个重大发现。根据这个结论有待证明不存在（72,36,16）自对偶码， 同时得到了615个（72,36,14）准循环码，这也是之前现有文献未有的结论，后面利用这些结论可以组合各种的准循环LDPC码，可应用于现代的5G通信系统。.（4）在通信安全方面，研究了编码在密码学上的一些应用，提出了一种基于纠错码的Hash函数的设计，利用Hash函数值的熵证明了所构造的Hash函数具有更高的安全性。还讨论了Hash函数在区块链中的应用。为了提高通信的安全性，提出了一种基于线性反馈移位寄存器和一次一密相结合的维吉尼亚密码算法，提高了通信系统的安全性。.（5）布尔多项式方程组的求解问题是数学与计算机科学中的难解之一，该问题在密码学中的概率代数攻击与侧信道代数攻击中广泛出现。通过对译码方法的研究，提出了一种随机比特翻转算法可以快速地用来求解布尔多项式方程组可满足性问题。为了进一步提高效率，提出了一种基于纠错码的方法来求解布尔多项式方程组可满足性问题。. 在该项目的资助下，完成了国内外学术刊物10篇（其中SCI 2 篇，EI 2篇），还有2篇SCI在投稿状态，完成专利申请11项（2项授权，9项进入实审），培养硕士研究生6名（3名已毕业）。