分形上的拟对称映射及加倍测度的若干研究

The research of our work are mainly related to the quasisymmetric minimality for fractal sets, the equivalent conditions of quasisymmetric mappings on fractal sets, the classifications of fractal sets with doubling measures. They are important and difficult topics in the crossroads between fractal geometry, geometric measure theory and quasisymmetric mapping, they are with the theory and application of dual significance. We will do some research below: 1) Studing the quasisymmetric minimality (especially packing minimality) for fractal sets: we will start the studing from the one-dimensional fractal sets, then study some more complicated and higher dimension sets and find out some special and improtant quasisymmetric minimal sets. Morever we will study about the quasisymmetric mappings how to influence the fractal dimensions for fractal sets. 2) Doing some equivalent characterizations for the fractal set: we will start the studing from the one-dimensional fractal sets, then study some more complicated fractal sets on Euclid and general metric space to give some equivalent conditions to the quasisymmetric mappings of these sets. 3) Classifying the fractal sets by doubling measures: we will start the studing from the one or two-dimensional fractal sets, then study some more complicated sets to do some more accurate classification to them by doubling measures. We will effectively use our mathematical tools and find new ideas, and try to answer these questions satisfactorily.

本项目的研究内容主要涉及到分形集的拟对称极小性，分形集上拟对称映射的等价刻画以及用加倍测度对分形集进行分类等问题，它们是分形几何、几何测度论与拟对称映射交叉领域中重要且相当具有难度的问题，有理论及应用双重重要意义。我们准备做：1）考察分形集的拟对称极小性（特别是packing极小性）: 从简单的一维分形集出发，进一步系统深入地研究一些更复杂或高维的集合，找出一些重要且特殊的拟对称极小集，进而研究拟对称映射对分形集分形维数的改变情况。2）对分形集上的拟对称映射做一些等价刻画:从简单的一维分形集出发，研究更复杂的欧氏空间和一般度量空间上的分形集，对这些分形集上的拟对称映射做等价刻画。3）利用加倍测度对分形集进行分类: 从简单的一、二维分形集出发，研究更复杂的分形集，用加倍测度将它们进行细致的分类。我们将综合运用所掌握的数学工具，努力发掘新思想，力争圆满回答这些问题。

本项目的研究内容主要涉及到分形集拟对称极小性以及用加倍测度对分形集进行分类等问题，它们是分形几何、几何测度论与拟对称映射交叉领域中重要并且相当具有难度的问题，也是国内外同行所关注的研究热点。我们做了以下的工作：1）系统深入地研究了一维分形集的拟对称极小性，得到了一些特殊的一维Moran集是拟对称packing极小集，发表了3篇学术论文，并对更一般化的一维及高维分形集的拟对称极小性进行了研究，得到了一定的结果；2）研究了利用加倍测度对分形集进行分类的问题，得到了一些结论，已总结成文；3）为了更好地研究分形集上的拟对称极小性及加倍测度 ，我们对一些特殊的分形集的分形维数进行了研究，得到了一些齐次完全集的下Assouad维数与下Assouad维数谱，还利用连通分支及间隔定义了一些特殊的一维和高维齐次Moran集，得到了有关这些集合Hausdorff维数和上盒维数的结论，相关结果已发表。本项目研究的问题相对独立但密切相关，具有理论及应用双重重要意义。