变分框架下的一类非局部的椭圆问题

Under variational structure, the programme mainly wants to study the existence、uniqueness and non-degeneracy of the state solutions and properties of these solutions for the Choquard equation in high dimension space and the existence of solutions especially infinite solutions and multi-bump solutions for the Schrodinger-Newton systems and an electromagnetic Schrodinger equation with Hartree nonlinearities in nonlocal elliptic problems under some general conditions of potential function and nonlinearity. The main method is the finite reduction method widely used at present which needs to combine the theories of regurality and prior estimates. This kind of problems have comprehensive physical backgrounds. We wish to develop new methods and new tools in nonlinear functionali analysis by investigating this kind of nonlocal elliptic problems.

本项目主要在变分框架下研究高维的Choquard方程的基态解的存在性、唯一性及非退化性和非局部的Schoringer-Newton方程组和非线性项为Hartree型的带电磁位势的Schrodinger方程在位势函数和非线性项满足不同条件时解的存在性以及解的性质，尤其是无穷多解和多峰解的存在性。主要方法是拟应用目前应用广泛的有限约化方法结合偏微分方程中的正则性理论和先验估计。这类问题具有广泛的物理意义。我们希望通过研究这类非局部的椭圆问题发展出非线性泛函分析中的新的方法和工具。

本项目主要研究了三类非局部问题：非线性薛定谔-泊松方程组、带Hardy项的临界增长的分数阶拉普拉斯方程以及薛定谔-牛顿方程组解的存在性以及解的性态的研究。我们的主要工具是有限约化方法、爆破性分析结合局部的Pohozeave恒等式。这些问题都有具体的实际应用背景，因此研究它们是非常有意义的。我们的主要工作如下：首先，应用两次约化方法结合局部的能量方法我们得到了非线性薛定谔-泊松方程组在非对称位势函数满足某种很弱的衰减性条件下无穷多解的存在性；其次，应用爆破分析结合局部的Pohozeave恒等式我们得到了带临界指数增长的分数阶拉普拉斯方程无穷多解的存在性；最后，应用有限约化方法我们得到了非线性薛定谔-牛顿方程单峰、多峰解的存在性，同时应用局部的Pohozeave恒等式结合爆破分析的技巧和极值原理我们还证明了单峰解和多峰解的局部唯一性。我们所考虑的这三类问题有一个共同的特性：都带有非局部项，会产生一些新的困难，需要我们想办法去克服。此外，涉及到很多复杂精细的计算，这需要很强的计算功底。