复双曲Klein群的基本域与无穷处的流形

The complex hyperbolic Kleinian group is a discrete isometric group acting on the complex hyperbolic space. In this project we will study the following three problems: 1.We will study the combination and geometry of the fundamental domain at the ideal boundary of complex hyperbolic space of the complex hyperbolic triangle group (3,3,n). We will identify the hyperbolic 3-manifold from the side-pairings of the the fundamental domain；2. We will study the Parker-Will's family groups with parameters. In particular, we will consider some important subgroups and the groups on the Unipotent curve. In order to determine the discreteness of these groups, we need to construct the Ford fundamental domains and use the Poincare polyhedra theorem; 3.We will continue to study the combination and geometry of the fundamental domains at the ideal boundary of complex hyperbolic space and get the CR uniformization of these corresponding hyperbolic 3-manifolds.

复双曲Klein群是作用在复双曲空间上的离散等距群.本项目将主要研究以下三个方面的问题：1、研究复双曲(3,3,n)三角群的基本域在复双曲空间理想边界上的组合与几何性质，利用基本域的边配对关系得到相应的三维双曲流形；2、研究Parker-Will参数族群，特别是该参数群中一些重要子群和Unipotent曲线所对应的群，构造Ford基本多面体，并利用Poincare多面体定理来判断这些群的离散性；3、研究这些群的基本多面体在复双曲空间理想边界上的组合与几何性质，并得到所对应的三维双曲流形的球面CR单值化。

本项目主要研究了一些复双曲Kleinian群在无穷远处的三维流形的几何与拓扑。至今仅知道极少的几个双曲三维流形具有球面CR单值化，我们在这个问题上取得了非常不错的进展， 主要成果如下：1、对复双曲 (4,4,∞)三角群证明了 Schwartz的猜想；2、证明了SnapPy数据库中标记为 m038, s090, s782, m295 和魔幻流形6_3^1等双曲三维流形具有球面CR单值化；3、证明了J. Granier构造的复双曲群的无穷远处为一个闭双曲三维轨形。该结果回答了著名数学家Misha Kapovich的一个猜想的第一部分，同时该结果也是Schwartz’关于闭双曲三维轨形具有球面CR单值化的结果之后的第二个例子；4、研究了复双曲 (3,n,∞)三角群的形变。