Dar猜想与对数Minkowski问题

The Brunn-Minkowski theory is the core of the convex geometric analysis. The Brunn-Minkowski inequality and the Minkowski problem are two cornerstones of this theory. In 1999, Dar conjectured that there is a stronger version of the Brunn-Minkowski inequality for convex bodies. Dar's conjecture and the uniqueness of the logarithmic Minkowski problem are two important problems in convex geometry, and there is close relationship between them. In the Euclidean n-space with n>2, they are still open. We will focus on both of these two problems in dimension 3, and consider their special cases. Besides, we will study their relationship in dimension n>2, and try to characterize the direct decomposition of convex bodies.

Brunn-Minkowski理论是凸几何分析的核心内容。Brunn-Minkowski不等式和Minkowski问题是该理论的两大奠基石。1999年，Dar猜想：Brunn-Minkowski不等式对于凸体有一个强化版本。Dar猜想和对数Minkowski问题的唯一性是凸几何分析中的两个著名的公开问题，并且二者有着紧密的联系。对于维数大于2的欧氏空间，这两个问题至今仍未被解决。我们将同时研究3维欧氏空间中的这两个问题，并且考虑它们的特殊情形。此外，我们将研究它们在维数大于2的欧氏空间中的联系，并努力刻画凸体的直和分解。

凸几何分析的核心内容是Brunn-Minkowski理论，它起源于19世纪末Brunn和Minkowski的开创性工作，之后Aleksandrov、Blaschke等人的杰出工作使这个理论得到了巨大的发展。Minkowski问题和等周问题是这个领域的核心研究内容。本项目的主要研究内容包括：Minkowski问题，Sololev函数的仿射重排不等式，新的正弦椭球；与迷向测度相关的极值问题。其中一些科研成果发表在国际著名数学期刊Trans. Amer. Math. Soc.、Adv. Math.、Int. Math. Res. Not.、Geom. Dedicata等上。