Minkowski问题及其相关问题研究

本项目拟运用凸几何分析中的Brunn-Minkowski-Firey理论和非线性分析Monge-Ampere方程的分析结果研究：1.三维欧氏空间上的p=0时的Lp-Minkowski问题，二维欧氏平面上p=-n的Lp-Minkowski问题；2.当p<-n时，Lp-Minkowski问题的正则性；3.在最新的Orlicz Brunn-Minkowski理论下研究Orlicz Minkowski问题,并将该理论进行发展；4.Minkowski问题及相关问题在凸几何理论中的应用，发展分析不等式与几何不等式。Minkowski问题影响着凸几何分析和微分几何在整个二十世纪的发展。本项目是当前国际上的前沿课题，是凸几何分析，微分几何学及非线性分析领域中一个十分活跃的方向，具有深刻的物理和几何背景，因而具有重要的理论意义和研究价值。这些问题的解决将推进凸几何学、微分几何学和非线性分析理论与应用的发展。

本项目重点研究了与凸(星)体、质心体和矩体、投影体相关的一些问题。所产生的代表性的成果有：a)在凸几何理论中引入了第i个Lp-混合仿射表面积及Lp-极曲率像，获得了其Blaschke-Santalo类不等式，并能得到对偶Urysohn不等式的一个推广形式；b)研究了广义Busemann-Petty问题的一个几何推广形式，并对它做出肯定的回答；c)建立了Lp-矩体关于调和p组合的均质积分及对偶均质积分的Brunn-Minkowski不等式；d)建立了关于质心体的Brunn-Minkowski不等式的一种隔离形式和体积差形式,都是其经典形式的加强；e) 运用Fourier变换和扰动方法研究一类广义的阻尼Boussinesq方程的初边值问题，获得这类方程整体解的存在唯一性和按指数衰减的长时间渐近性，运用不动点理论得到了方程初始值可生成方程整体解的结论；f)在一类分数次积分微分方程中，论证了所研究边值问题至少存在两个正解的性质。