时间分数阶扩散系统的子区域能控性与最优控制研究

Regional controllability and optimal control of time-fractional diffusion systems in a bounded domain are advanced topics in the fields of control of infinite-dimensional systems. Researches on regional controllability and its related optimal control strategy for time-fractional diffusion systems could help people to efficiently deal with control problems with limited cost and limited capability of the component. In this project, by means of the theory of fractional calculus and functional analysis, we consider: 1) to analyze the well-posed problem of the solution and the duality principle for time-fractional diffusion systems; 2) to investigate the necessary and sufficient conditions for regional controllability problems of time-fractional diffusion systems with finite-dimensional static controllers, and then to study the minimal norm control problems and the minimal time control problems. The numerical results are finally included to illustrate the effectiveness of our theoretical results; 3) to discuss the regional controllability and its related minimal norm control problems for time-fractional diffusion systems by finite-dimensional mobile controllers. The numerical illustrations are then obtained via the FO-Diff-MAS2D simulation platform. To summarize, the purpose of this project is to achieve a series of regular and rigorous results at both the theoretical and the algorithmic levels so as to enrich and promote the control theory of time-fractional diffusion systems and besides, to guide the practical control problems of anomalous diffusion phenomena, such as the assessment and restoration for underground pollution problems.

有界区域上时间分数阶扩散系统的子区域能控性与最优控制研究是无穷维系统控制领域的一个前沿性课题。研究子区域能控性，并在众多使系统子区域能控的控制方案中寻求最优，有助于人们更好地处理控制成本一定、元器件能力受限的控制过程。本项目拟综合运用分数阶微积分理论、泛函分析等从事以下研究：1)研究时间分数阶扩散系统解的适定性及对偶性原理；2)探讨有限维静态控制器作用下受控系统的子区域能控性，建立相应的充要条件判定定理，并在众多满足判别条件的控制方案中寻求能耗最小最优和时间最短最优，同时予以数值模拟验证；3)研究有限维移动控制器作用下系统的子区域能控性及能耗最小最优控制问题，并应用FO-Diff-MAS2D仿真平台进行数值模拟验证。通过本项目的研究，力争在理论与算法层面取得一系列规律性、严谨性的成果，进而丰富和发展时间分数阶扩散系统控制理论，同时为实际反常扩散控制问题，如地下污染的评估与修复提供理论支持。

时间分数阶扩散系统的子区域能控性与最优控制问题已成为无穷维系统控制领域新的研究热点和难点，在工业、精准农业以及航空航天等领域有着重要的应用和需求。这是因为随着近年来分数阶微积分理论的不断发展和成熟，大量事实已经表明：时间分数阶扩散系统比整数阶扩散系统更适于描述自然界和工程中的反常扩散现象。然而，由于分数阶导数的引入，导致了现有很多适用于整数阶扩散系统子区域能控性与最优控制的研究方法无法直接推广至时间分数阶扩散系统，从而严重制约了其理论研究的发展。鉴于此，本项目的研究内容主要集中于如下四个方面：1）分析时间分数阶扩散系统解的适定性和构建其对偶性原理；2）研究时间分数阶扩散系统的子区域能控性及与之相关的最优控制问题；3）研究时间分数阶扩散系统的子区域最优控制问题；4）结合时间分数阶扩散系统的研究进展，进一步研究了其事件触发控制问题等。通过本课题的研究，力争在理论与算法两个层面有效丰富和发展时间分数阶扩散系统控制理论，以促进控制科学与工程学科和数学学科的相互融合发展，同时达到认识和避免反常扩散现象中可能发生的有害运动行为的目的，进而实现控制过程的节能降耗。. .本项目正式接受和发表自动控制领域内的学术论文15篇，主要包括《IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems》、《ISA Transactions》、《Fractional Calculus and Applied Analysis》、《Nonlinear Dynamics》、《Nonlinear Analysis: Hybrid Systems》、《International Journal of Robust and Nonlinear Control》、《Mathematical Control & Related Fields》、《IEEE Control Systems Letters》、《控制理论与应用》等11篇国际著名期刊论文，以及IFAC2020*2、ACC2021、CCDC2022等4篇中国自动化学会推荐的A类学术会议论文。