q-高斯冯诺依曼代数

This project will study the some properties such as MF, Quasi-diagonal property of q-Gaussian von Neumann algebras and C*-algebras, and moreover the planar algebra model for q-Gaussian algebra will be created. We will obtain some properties of q-Gaussian algebra in the aspect by taking advantage of planar algebra. In the end, we will try to show if q-Gaussian factor is interpolated free group factor or not. The q-Gaussian process is a noncommutative generalization of classical Gaussian process. It also includes the free process. The q-Gaussian process has widely use in probability theory and physics. The study in the project will help understand q-Gaussian process better. This work will also extend the work by Guionent, Jones and Shlyakhtenko for planar algebra model for interpolation free group factor.

本项目将主要研究q-高斯冯诺伊曼代数和C*代数的基本性质例如MF性质，Quasi-diagonal性质等自由群代数可能具有的性质，并建立平面代数模型，讨论其与平面代数的相关刻画，努力说明q-高斯冯诺依曼代数是否是插值自由群因子。Q-高斯过程是高斯过程的一个非交换化的推广，它不仅包含了经典的高斯过程，还涵盖了自由过程。Q-高斯过程在概率论，物理等领域都有重要的意义和用途，我们的研究也将加深数学家们对q-高斯过程跟经典高斯过程和自由过程的差别。这个项目的工作也将拓广Guionent, Jones 和 Shlyakhtenko建立的关于自由群因子的平面代数模型。

本项目利用平面代数的图形化运算技巧刻画一类在数学物理中非常重要的q-高斯冯诺依曼代数的分析性质。我们发展了平面代数的图形化运算技巧，用其刻画了子因子平面代数上的一些分析性质，建立了平面代数上的傅立叶分析理论。另外我们还将此理论发展至局部紧量子群，刻画其上的Young不等式。特别的对Kac代数情形我们能够给出三种不确定原理和合集不等式及Young不等式，Hausdorff-Young不等式的等号成立条件。