多频振荡微分方程Runge-Kutta型数值解的B级数及树理论

It is very important to study the theories and the structure-preserving methods of multi-frequency oscillatory systems. However, due to its oscillation and coupling, the numerical study depends closely on the main frequency matrix. If we use the research mode as which in non-oscillatory system, since the elementary differentials containing the main frequency matrix will be created in the B-series of the exact solution of multi-frequency oscillatory differential equations inevitably, new trees have to be appended to the root tree set which is built for the non-oscillatory system. The appendence of trees definitely brings some new research contents. In a word, the study of multi-frequency oscillatory system is relatively difficult and the results are relatively small. In this project, by combining the elementary differentials linearly, with no trees appending, this linear combination will one-to-one match the elementary differential in the corresponding non-oscillatory system, and it makes the B-series in the multi-frequency oscillatory system and in the non-frequency oscillatory system corresponding to each other. It means that any research made in non-frequency oscillatory system can be applied to the multi-frequency oscillatory system. For the similar reasons, in the construction of structure-preserving methods, the basic characteristics of the coefficient functions are studied in terms of the structure preserving conditions, to form new mode of construction. This new mode not only gets rid of the framework of collocation methods, and there is no need to select the basis functions or the numerical quadrature formula. The most important is that, from this new mode of construction, great number of structure-preserving methods can be constructed relatively easily.

多频振荡系统的理论研究及保结构方法研究是非常重要的。但因其振荡性和耦合性，使得数值研究紧紧依赖于主频矩阵。若使用非振荡系统中的研究方式，多频振荡微分方程精确解的B级数中必然会增加含有主频矩阵的基本微分项，因此需向非振荡系统中的有根树集合中添加新的树。这必然带来新的研究内容。总之多频振荡系统的研究相对困难且成果相对较少。本项目通过对基本微分进行线性组合，在不添加新树的情况下，使得这个线性组合与非振荡系统下的基本微分一一对应，从而使得多频振荡与非振荡系统的B级数可以一一对应。这样非振荡系统下对B级数的研究成果便可以应用到多频振荡系统中。类似的原因，在保结构方法的构造时，从保结构条件出发，研究系数函数所具有的基本特征，产生新的构造模式。这一模式不仅摆脱了配置方法的框架且无需选择基函数及数值求积公式。最重要的是可相对简单地大量构造保结构方法。

本课题研究多频振荡微分方程的Runge-Kutta型方法。首先，研究多频振荡二阶常微分方程的辛Extended Runge-Kutta- Nystrom（ERKN）方法。方法的辛性使得现有的树理论存在大量的冗余树。本课题改写现有的辛条件，并视其为简化条件，为辛ERKN方法构造一个专有的、无冗余的无根树理论。研究成果在振荡系统和非振荡系统之间建立了紧密的联系，完善了纯理论研究。同时得到新的策略构造辛ERKN方法。其次，本课题研究多频振荡一阶常微分方程的保系统守恒性（或耗散性）的连续内级Runge-Kutta（cRK）方法。目前这类方法是在配置方法的框架下，选定合适的基函数和数值求积公式得到。本课题通过挖掘cRK方法的基本特征，得到一个易于构造数值方法的保能量/保耗散定理。研究成果使得方法的构造脱离了配置方法的框架，无需选择基函数且独立于数值求积公式。再其次，本课题研究时域电磁场的解析法。现有的解析法主要是积分变换法，即利用傅里叶变换或拉普拉斯变换，先在变换域求得解析解，然后再到时域。本课题利用严格的算子谱理论研究某个假设条件（如齐次狄利克雷边值条件）下麦克斯韦（Maxwell）方程的算子常数变易公式，此公式可看作常微分领域内的矩阵常数变易公式在偏微分领域的延拓。公式适用于直角坐标系、柱坐标系及球坐标系，对边界形状没有限制。研究成果可避免复杂的变换过程及因此所受的限制，具有非常重要的科学价值。最后，本课题研究直角坐标系下时域Maxwell方程的周期初边值问题的数值解。所研究的方法是先对空间进行离散，然后使用矩阵常数变易公式求解所得多频振荡二阶常微分方程而得到的。此类方法也可看作是对算子常数变易公式进行离散得来。研究的基石是离散拉普拉斯算子后的矩阵是负半定的。此类方法是显式、空间谱精确而时间上可任意高阶、保持散度为0、能量守恒、适用于长时间大步长计算、易于实践操作、稳定的数值方法。