球面散乱数据建模的神经网络方法

在许多实际问题中, 人们借助卫星或地球表面观测站采集到海量、散乱的对地观测数据。如何对这些数据建立有效模型（从而获取知识）是信息科学、数学、地理学等学科亟待解决的问题。基于人工神经网络独特的数据建模能力与智能化的学习算法，本项目围绕球面散乱数据建模的人工神经网络方法展开深入、系统的研究。利用球面流形的非欧几何特征、调和函数、函数逼近与插值等数学理论与方法，首先研究基于球面散乱数据的前向人工神经网络模型的构造与BP学习算法；其次，研究所构建模型逼近能力的刻画方法以及具插值性质模型的逼近误差估计与插值的稳定性等。同时，建立基于球面散乱数据的神经网络近似插值模型并研究其逼近阶；揭示神经网络模型与球调和多项式插值模型逼近能力的差异。本研究的完成将为球面散乱数据的建模、球面神经网络的设计及诸多实际问题的解决提供有力的理论依据与算法保证，同时将发展、丰富球面函数逼近的理论，进一步推动交叉学科的发展

在许多实际问题中，人们借助卫星或地球表面观测站采集到海量、散乱的对地观测数据。如何对这些数据建立有效模型（从而获取知识）是信息科学、数学、地理学等学科亟待解决的问题。基于人工神经网络独特的数据建模能力与智能化的学习算法，本项目围绕球面散乱数据建模的人工神经网络方法展开深入、系统的研究。利用球面几何、调和函数、函数逼近与插值等数学理论与方法，首先研究基于球面散乱数据的前向人工神经网络模型的构造与BP学习算法；其次，研究所构建模型逼近能力的刻画方法以及具插值性质模型的逼近误差估计与插值的稳定性等。同时，建立基于球面散乱数据的神经网络近似插值模型并研究其逼近阶。通过项目组成员的共同努力，我们已取得了一些研究成果。利用神经网络中经典的sigmoidal函数，我们构造了球面前向神经网络，研究了它们的逼近能力，给出了Jackson型误差估计。利用sigmoidal函数和散乱数据采样，我们构造了插值和BP网络，探讨了它们的泛化能力，通过数值试验结果，得到了神经元数目与误差之间的关系。考虑到BP算法的缺点，我们对神经网络中的极值学习机做了一些研究，并给出了仿真结果。我们引入了带参数的正定核，并用来构造插值网络算子，通过参数和散乱数据点的网格范数和分隔半径，给出了插值矩阵的特征值的上、下界估计。结果表明，我们可选取参数使得上、下界之间的距离任意小，这样插值矩阵的谱条件数可任意接近1。为了避免插值网络中解线性系统带来的麻烦，特别是为了解决本性障碍问题，我们引入了近似插值方法。通过散乱数据采样和带参数的正定核，我们构造了近似插值网络, 然后研究了对定义在单位球上连续的目标函数的逼近。这些结果的取得为球面神经网络方法在数据挖掘、机器学习及人工智能中的应用提供理论支持、技术上的参考和算法保证。