C1协调三角形/四边形谱元方法及其应用

Spectral element methods inherit the high accuracy of the traditional spectral methods and preserve the flexibility of the low order finite element methods, which have been widely used in solving practical problems. The mathematical models of many problems in science and engineering computation are the fourth-order equations. In the field of finite element and spectral element, the most widely used approaches for this kind of problems are nonconforming element and mixed element. However, the existing nonconforming finite elements usually adopt low order polynomials. Therefore, the advantages of the p-version methods can not be obtained. For simple supported boundary condition, the solutions of the mixed form and the original problem may be not equivalent in non-convex regions, resulting in the false solutions. There is a mature conclusion on the construction and approximation analysis of the C1-conforming finite element, and only the conclusion on the tensor product unit is drawn for the C1-conforming spectral element. In this proposal, this project mainly focus on the constructions of the C1 triangular and quadrilateral spectral element, establishing the orthogonal approximation results of the C1 triangular spectral element, designing discretization schemes by the C1-conforming triangular spectral element method and discussing the fast algorithms of corresponding discrete linear systems, and applying the C1-conforming triangular/quadrilateral spectral element methods to practical problems. Solving these problems will further expand the basic theories of spectral element methods and the range of application, provide some new high accuracy algorithm for some problems in science and engineering.

谱元方法继承了谱方法的高精度，也展现了有限元方法的区域灵活性，已被广泛的应用于实际问题求解。科学和工程计算中许多问题的数学模型是四阶方程，在有限元和谱元领域，针对该类问题应用最广的是非协调元和混合元方法。然而，现有的非协调有限元往往采用低阶多项式，故而无法获得p-version方法的优点；对于简支边界条件，一些混合形式的解和原问题的解在非凸区域上并不等价，从而导致虚假解。对C1协调有限元的构造和逼近分析已有成熟结论，而对于C1协调谱元只有张量积单元上的结论。为此，本项目主要研究C1三角形/四边形谱元的构造，构建C1三角谱元正交逼近结论，设计C1协调三角谱元离散格式并讨论离散线性系统的快速算法，并将C1协调三角形/四边形谱元方法应用于实际问题数值求解。这些问题的解决将进一步拓展谱元方法的基础理论和应用范围，为有关科学和工程问题提供新的高精度谱元算法。

谱元方法结合了谱方法以及有限元方法的思想，既继承了谱方法的高精度性，以较少的自由度和开销取得指定的精度，也具有了同有限元方法一样的区域灵活性，并且适用于高效的并行计算。近些年来，谱元方法已经在许多工程领域中获得了广泛成功的应用。科学和工程计算中许多实际问题的数学模型是四阶微分方程，而已有的计算方法大部分都是非协调元和混合元方法，对于任意三角形/四边形网格的C1协调谱元鲜有研究结论，对高阶旋度方程的协调谱元方法的研究更是几乎空白。本项目旨在发展四阶微分方程的任意三角形/四边形协调谱元方法，进而为更高阶的微分问题提供原创性的高精度谱元算法。为此，本项目研究构造了C1协调三角形/四边形谱元，分析了其完备性和C1连续性，并对一些四阶微分问题建立了相应的C1协调三角形/四边形谱元逼近格式,从数值试验结果论证了该方法的高效性。同时，本项目构造了H(curl^2)协调四边形谱元，分析了其完备性，进而将其应用在四阶旋度方程的数值求解中，建立了H(curl^2)协调四边形谱元逼近格式，数值分析了该方法的高精度性。此外，本项目对定常Smagorinsky模型设计了非协调有限元格式并完成了最优逼近估计和超收敛分析，也对带阻尼项的非定常Stokes方程建立了基于向后欧拉格式的有限元逼近，并推导了其绝对收敛和超收敛结论。本项目的主要研究结果是具有标志性的，不仅丰富了协调三角形谱元数值求解四阶问题的基础理论和应用范围，而且填补了任意四边形C1协调谱元和任意四边形H(curl^2)协调谱元方法的研究空白。进一步拓广了协调谱元方法于高阶微分方程以及高阶磁流体问题上的应用，为科学和工程有关问题的数值模拟提供了新的高精度谱元算法。