矩阵秩极小问题的松弛理论与算法研究

矩阵秩极小（或低秩矩阵恢复）问题是运筹学与信息科学等共同关心的一个热点研究课题，其数学模型是一个具有NP-难的矩阵锥规划, 它与矩阵理论、组合理论、微分几何、凸分析和变分分析等数学分支有着紧密的联系，在图像恢复与信号处理、统计、系统识别与控制、机器学习与人工智能等领域有着广泛的应用。 本项目欲开展对该问题的松弛理论与算法研究，主要内容包括:进行三种不同的松弛模型与理论探讨, 以期给出比有限等距性质相对较弱且易于验证的条件，同时松弛问题易求解、近似效果好且误差可控；进行算法设计与理论分析, 以期得到收敛速度快、稳定性能好、适合大规模问题的算法；进行数值试验及其在医学成像中的应用研究, 以期得到成像速度快且图像清晰的数值程序。 本研究能促进多个理论数学分支在数学规划的融合与交叉，为解决实际问题提供理论与算法支撑。

矩阵秩极小问题是运筹学与信息科学等共同关心的一个热点研究课题，其数学模型是一个具有NP—难的矩阵锥规划，它与矩阵理论、组合理论、微分几何、凸分析和变分分析等数学分支有着紧密的联系，在图像恢复与信号处理、统计、系统识别与控制、机器学习与人工智能等领域有着广泛的应用。.本项目在矩阵核范数极小松弛和矩阵p范数极小松弛与矩阵秩极小问题的内在联系基础上，围绕矩阵秩极小问题的松弛理论与算法展开广泛和深入的研究,侧重于稀疏优化理论、算法及医学成像应用方面，以及其在若当代数意义下的推广和相关的不等式基础结果方面，并且根据统计与优化的发展趋势开展新的研究。共发表论文22篇，出版教材1部，其中SCI检索论文17篇，项目组成员2人晋升为副教授，1人晋升为教授。孔令臣获得2012度中国运筹学会青年奖，当选中国运筹学会数学规划分会副秘书长。孔令臣在2014年9月—2015年.9月到美国明尼苏达大学访问邹晖教授。组织2013全国统计优化高级讲习班暨国际研讨会，组织2013若当代数下的互补问题和稀疏优化国际小型研讨会，组织2015 统计优化国际研讨会，参加国际和国内学术会议10余人次。本项目取得的重要学术成果简洁如下： .在稀疏优化理论方面，对于1/2松弛给出了目前最好的RIP界；建立非负低秩矩阵重建的s-goodness性质； 证明了广义Z-矩阵、Lyapunov变换、欧氏距离阵三类线性变换下的稀疏优化或低秩矩阵秩恢复问题是多项式可解的, 对于某些非负约束稀疏或者低秩成像，采样量可降低且必存在快速有效的算法; 建立了在若当代数意义下的压缩感知松弛理论，即RIP性质、NSP性质、S-goodness和相关的不等式结果。.在算法及应用方面，针对动态心脏MRI，采用秩-1和变换的稀疏模型，以及秩-1和稀疏矩阵分解模型，分别提出了投影交替方向法和交替硬阈值法等； 对于视频监控问题，提出秩-1张量的稀疏分解模型，建立了改进的迭代加权L1算法。 .在统计优化研究方面，利用统计方法，通过半定总体协方差矩阵，实现同时稀疏和低秩的估计，提出了带有全局收敛性的一种交替方向法。.本课题对矩阵秩极小问题进行了理论、算法及应用上的深入研究，并且进行了若当代数意义下的推广和统计优化方面的融合，实现了本课题预定的目标，促进了多学科的融合和交叉，为解决实际问题提供了理论和算法的支撑。