三维扩散方程的保极值原理格式研究

Preserving extremum principle is an important property of diffusion equation. The scheme, which does not satisfy the extremum principle, will result in the nonphysical oscillation of the numerical solution. Because the actual physical systems are all three dimensional, and the existing research results focus on two dimensional cases, the construction of finite volume schemes preserving extremum principle for three dimensional diffusion equations is a challenging problem.. In this project, some finite volume schemes preserving extremum principle for three dimensional diffusion equations will be constructed. The schemes are cell-centered, conservative and satisfy the discrete extremum principle. The stability, convergence and conservation of the schemes will be analyzed. This project will ensure the calculation accuracy and improve the computational efficiency on highly distorted meshes. We will consider the characteristics of three dimensional diffusion problems, and will offer the explicit expressions for the three dimensional normal flux and the methods to eliminate the auxiliary unknowns.

极值原理是扩散方程的一个重要性质，不满足极值原理的格式可能导致数值解出现非物理的振荡。并且实际应用所考虑的物理系统大都是三维的，因此，研究三维扩散方程满足离散极值原理的格式具有重要的意义。然而现有的研究主要集中在二维，如何构造三维扩散方程满足极值原理的格式是一个尚未解决的难题。. 本项目的主要研究内容：根据实际应用领域中的需求，构造三维扩散方程的保极值原理有限体积格式，希望所得的格式是单元中心型的、守恒的并且满足离散极值原理。 并研究其稳定性、收敛性、守恒性等基本性质，尽可能保证其在大变形网格上的计算精度，并提高其计算效率。在格式设计中，将考虑三维扩散问题的特点，给出法向通量的离散表达式以及消去辅助未知量的方法。

本项目获得资助以来，我们按照研究计划逐步开展研究工作。首先,借鉴已有的九点格式、支撑算子格式、多点通量逼近格式的设计思想，针对三维扩散方程，构造出了大变形网格上有限体积格式，并给出稳定性和收敛性证明. 其次，结合非线性单调有限体积格式的设计思想，进行适当的改进与发展，合理地给出法向通量的离散表达式，从而构造了单调有限体积格式，保证了温度不出现负值和非物理振荡。更进一步，对单调格式重新进行改进，得到了保极值原理的有限体积格式。格式同时具有以下性质：保正或保极值原理；具有局部守恒性；只有网格中心未知量；适用于无结构各向异性网格；适用于非均匀全扩散张量；所得到的稀疏代数方程组有尽可能少的非零元，对光滑解有高于一阶的精度。. 同时拓展了本项目的研究内容。三维扩散方程的保极值原理有限体积格式研究是近年来一个比较新的研究课题，已有的研究成果较少，因此在研究过程中还解决了出现的新问题。本项目拓展的研究内容包括：（1）构造了三维对流扩散方程单调有限体积格式（2）尝试构造了加速迭代方法，使程序运行时间大大缩短。（3）给出了二维扩散方程在非匹配扭曲网格上的节点型单调有限体积格式。. 发表论文7篇，圆满完成了各项研究计划。