分数阶微分方程数值求解中的大规模结构矩阵问题的快速算法研究

In recent years, the research on the numerical solutions of fractional differential equations (FDEs) has become a very hot topic. Due to the nonlocal property of fractional differential operators, the computational complexity and storage requirement for numerically solving FDEs are usually very high, which seriously restrict the development and application of FDEs. In this project, we will exploit the (generalized) exponential integration method and numerical contour integral method to solve FDEs. For the effective implementation of these methods, we must consider fast approximating the large-scale structured matrix exponential, matrix phi-function, and matrix Mittag-Leffler function, selecting the integral curve and its optimal parameters, as well as efficiently solving multi-complex shift structured linear systems and so on. By making full use of the structure of discrete matrices and the properties of fractional derivatives, we are committed to design fast and efficient algorithms for those problems based on large-scale projection method, matrix function theory, random method, preconditioning technique, approximation theory and so on. The aim of this projection is to provide new ideas and methods for significantly reducing the computation complexity and storage requirement in the numerical simulation of FDEs, and consequently promote the development of numerical solutions of FDEs and greatly push the wide applications of FDEs in various fields.

近年来，分数阶微分方程的数值求解已成为科学计算领域的前沿和热点课题。由于分数阶微分算子的非局部性，使得数值求解分数阶微分方程的计算复杂度非常高、存储量非常大，这严重制约着分数阶微分方程的发展。本项目拟应用（广义）指数积分法和基于Laplace变换的数值围道积分法求解各类分数阶微分方程，对执行中遇到的大型结构矩阵指数、矩阵phi-函数、矩阵Mittag-Leffler函数的计算、围道积分曲线及最优参数的选择、带复位移的大型结构线性系统的求解等问题展开研究。根据离散矩阵的结构特征和分数阶微分算子的特性，基于大规模投影方法、矩阵函数理论、随机算法、预处理技术、逼近论等工具，开展一系列快速算法的研究。本项目的研究将为有效解决分数阶微分方程数值求解时计算量、存储量大的问题提供新的思路和方法，促进分数阶微分方程数值解法的快速发展，也将极大地推动其在各个领域中的应用。

本项目以有着极其广泛应用背景的分数阶微分方程为研究对象，致力于数值求解分数阶微分方程时遇到的大规模结构矩阵问题的快速算法研究。在项目执行期间，我们充分利用离散系数矩阵的性质和结构，如Toeplitz-like、块下三角或低秩等结构，设计出比一般矩阵问题更为高效的算法。具体来说，（1）我们对数值求解时间分数阶微分方程时导出的块下三角Toeplitz线性系统，借助块ε-循环矩阵及快速傅里叶变换设计了快速逼近逆解法，给出了该算法高效稳定运行的充分条件，证明了现存的几个时间分数阶微分方程的有限差分格式都满足所给的充分条件；（2）对一类微分算子中同时含有Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数的守恒型空间分数阶微分方程，根据离散所得的系数矩阵的Toeplitz-like结构，构造了基于循环矩阵的逼近逆预处理子，并从理论和数值两方面讨论了它的有效性；（3）对数值求解变阶数分数阶微分方程时遇到的大型稠密但不再具有Toeplitz-like结构的线性系统，根据矩阵元素的表达式并借助于插值逼近将原系数矩阵用分层低秩结构的矩阵去逼近，降低了构造系数矩阵的计算量和存储量以及系数矩阵与向量乘积的运算量，并基于此对空间变阶数和时间变阶数的分数阶微分方程导出的线性系统分别给出了快速预处理Krylov算法和分而治之法；（4）对指数积分法求解空间分数阶微分方程时遇到的矩阵指数函数与块向量的乘积问题，我们先用有理逼近将该问题转化为多个带位移的线性系统，然后对这些线性系统设计了带位移的重启动块FOM算法，并分析了算法的合理性。另外，作为研究的延伸和发展同时受问题的驱动，我们还讨论了可厄密矩阵前若干个特征对的快速计算和Grassmann矩阵对的广义奇异值的弦度量等问题。总的来说，我们的研究取得了比较理想的结果，可为分数阶微分方程的高效数值模拟提供新的思路和方法，很好的完成了该课题的研究任务。