Toeplitz矩阵函数的快速逼近算法及其应用

Functions of matrices play an important role in many applications. The problem of fast approxiamting matrix functions is one of the major topics in the study of matrix functions. In this project, we consider fast computing the action of the Toeplitz matrix funcion on a vector. Research contents include the following several aspects: design of fast and efficient rational approximation algorithms by taking full advantage of Toeplitz structure and proporties; construction of new restarted Krylov subspace methods; investigation of the rational Krylov subspace method from the Toeplitz point of view; as well as fast approximation of the action of the Toepltiz matrix functions and a vector by the contour integration. We would also give a detailed discussion on the stability and convergence of the proposed algorithms by utilizing the tools related to the Toepltiz matrix, field of values, perturbation analysis, or results in theory of approximation. The aim of the project is to promote the study of the action of matrix functions with structured matrices and a vector, and provide more elegant algorithms and results for fast and accurate approximating matrix functions. The study on this project would greatly enrich the current research methods and research means, and provide fruitful results and research topics for the fields of matrix theory, numerical analysis, approximation theory and so on.

矩阵函数有着非常广泛的应用背景，考虑矩阵函数的快速逼近算法是矩阵函数问题中的一个重要研究方向。本项目主要研究Toeplitz矩阵函数与向量乘积的快速逼近算法，研究内容包括：充分利用Toeplitz矩阵的性质和特征，设计新的快速有效的有理函数逼近算法；构建和分析新的Krylov子空间重启动算法；研究Toeplitz矩阵函数的有理Krylov子空间算法；考虑用围道积分法逼近Toeplitz矩阵函数与向量的乘积；拟用Toeplitz矩阵相关的工具、数值域、扰动分析或逼近论中的结果等对算法的收敛性和稳定性做细致的分析。本项目旨在促进结构矩阵函数与向量乘积的算法的研究，为更快更精确的逼近矩阵函数与向量的乘积提供更多好的算法和理论。本项目的开展将会极大的丰富现有的研究方法和研究手段，并对矩阵理论，数值分析，逼近理论等相关领域发展提供丰富的结果和研究课题。

在项目执行期间，我们主要围绕大规模Toeplitz矩阵计算问题，以期权定价中的偏微分积分方程和分数阶微分方程为应用背景展开了研究。根据实际问题出来的特殊矩阵结构，设计出比一般矩阵更为快速有效的算法，并利用结构矩阵的相关工具，对算法的稳定性、有效性等进行了必要的理论分析和研究。所得主要研究结果如下：采用Krylov子空间结合位移求逆技术对块Toeplitz和Toeplitz-like矩阵指数函数进行逼近，根据矩阵的具体结构用多重网格法或者预处理技术对其内迭代进行加速，并将算法应用于求解期权定价问题中的积分微分方程以及空间分数阶偏微分方程中；考虑了期权定价问题中二维随机波动带跳扩散模型下的偏微分积分方程，用二次有限元结合预处理的BiCGSTAB方法进行快速求解，根据系数矩阵的Toeplitz类结构，给出了几类预处理矩阵并对其运算效率进行了数值比较；用块ε-循环矩阵逼近块下三角Toeplitz矩阵给出了块下三角Toeplitz矩阵快速逼近逆算法，对其逼近精度进行了分析，并将其有效地应用于求解时间分数阶偏微分方程；利用基于Laplace变换的快速匝道积分法来求解空间分数阶微分方程，根据系数矩阵的Toeplitz结构进行了谱分析，并设计了快速算法降低计算量。总的来说，课题组采用了理论分析和数值实验有机结合的研究方法，取得了比较理想的研究结果，完成了该课题的研究任务。