比式和分式规划问题的稳健解方法研究

众多实际问题的数学模型均可归结为比式和分式规划问题，寻找该问题的稳定、可行的最优解是其能得到广泛应用的基础和关键。本课题拟从实际问题出发，研究比式和规划问题的稳健解方法。首先，为克服孤立可行点存在的困难性，提出一般优化问题的非孤立最优解及有关近似最优解概念；利用合适的转换技巧构造出较为简单且可行域中无孤立点的辅助优化问题，并证明在一定条件下通过求解该辅助问题能够获得原问题的非孤立最优解。其次，为有效地求解辅助问题，基于分支定界过程研究新的凸性（或线性）松弛方法；提出合适的区域缩减和界紧策略等加速工具；对大规模问题，采用分步并行方法降低问题维数和减少约束个数；最终设计出确定比式和分式规划问题稳健的全局最优解的有效方法，并分析算法的理论性能等。最后，将提出的稳健解方法应用于投资组合、计算机视角等实际问题中，使其创造出社会和经济效益。

众多实际问题的数学模型均可归结为比式和分式规划问题，寻找该问题的稳定、可行的最优解是其能得到广泛应用的基础和关键。本课题从实际问题出发，研究比式和规划问题的稳健解方法。具体：.1. 为克服孤立可行点存在的困难性，提出一般优化问题的非孤立最优解及有关近似最优解概念。利用合适的转换技巧构造出较为简单且可行域中无孤立点的辅助优化问题，并证明在一定条件下通过求解该辅助问题能够获得原问题的非孤立最优解。基于辅助问题中目标和约束函数的单调特点，提出相应问题的缩减运算原则，即删去可行域中最优解不存在的区域，结合分支定界等策略提出相应问题的求解算法，数值结果表明这些方法是可行有效的，且提出的缩减原则能改进分支定界算法的收敛速度。.2. 对几类特殊的比式和非凸规划问题，如广义几何规划、线性或凸比式和优化问题、多乘积规划等。基于分支定界过程，提出了有关的凸性（或线性）松弛方法，以及合适的对偶界方法，给出相应的区域缩减和界紧策略等加速工具。利用次梯度和凸包络构造松弛线性规划问题，从而将关键的估计下界问题转化为一系列线性规划问题， 这些线性规划易于求解而且规模不变,更容易编程实现和应用到实际问题中。在分枝过程中采用单纯形或矩形对分不但保证分割的穷举性，而且使得迭代过程中线性规划的规模保持不变或更小。.3. 对人工智能和数据挖掘等领域中的贝叶斯网络结构确定问题，将提出的确定性全局优化方法和智能优化方法相结合，提出了确定最优贝叶斯网络结构的方法。对一类结构化张量问题，通过利用某类结构化矩阵，将其扩张到高阶张量，并讨论其与半正定张量和其它一些结构化张量的关系，以及这种结构化张量与优化、非线性方程组、非线性互补问题、变分不等式以及非负张量理论的潜在关系。此外，对博弈论中Wythoff’s游戏的推广和限制也做了相关研究，获得有关的理论结果。. 该项目依据研究内容、技术路线和研究目标，各项工作顺利开展，获得一系列研究成果，实现预期的研究目标。完成相关模型下有关稳健解方法的算法设计与理论分析，及相应算法的数值计算。共发表论文50 篇，其中SCI 25篇，EI3 篇，国内核心22篇, 研究成果达到国际先进水平。培养硕士生17人，其中10人获得硕士学位。培养青年教师4人，其中2人获得博士学位。参加国内会议8人次，国际会议4人次，邀请国内外专家讲学6人次。