调和分析及在偏微分方程中若干交叉问题的研究

本项目研究多线性粗糙核奇异积分和多重迭代交换子在一些用于偏微分方程研究的函数空间、广义空间、变指标空间的乘积空间中的有界性；并作为应用和交叉，研究p(x)- Laplce-Schrodinger方程、非线性Schordinger方程、Navier-Stokes方程及相关的非线性方程的弱解正则性和适定性；研究这些非线性方程和含奇异位势椭圆抛物方程的Morrey型、Besov-Sobelev型粗糙初边值问题的可解性与解性态、非光滑区域上解的唯一延拓性和边界唯一延拓性理论；研究含多参数Hurst指数分形白噪的拟线性随机分形抛物方程的初边值问题的可解性、表示弱解的随机积分在Besov空间中的存在性和连续性等。. 非线性现象和随机现象是普遍客观现象，粗糙和奇异反映真实性。本项目深化实调和分析理论方法，研究调和分析与偏微分方程的交叉问题，将推动两个领域研究的深入，在物理、流体、金融等领域得到应用。

调和分析是当代数学的核心学科领域之一，它的理论和方法广泛应用到偏微分方程、小波理论、非线性分析、流体力学、图象处理、金融学等学科领域中；同时在调和分析研究中提出的许多问题始终与这些分支有着紧密的联系。.主要研究内容：粗糙奇异积分算子在广义空间上的有界性。多线性奇异积分算子和多线性多重迭代算子在乘积空间上的有界性。非线性方程的弱解正则性等问题。分形布朗运动的随机积分、随机拟线性方程及其调和分析方法，并讨论在金融市场期权理论和风险管理理论中的应用。.重要成果：（1）建立了若干非线性方程和奇异方程的正则性，首次引进了一类与奇异位势相关的加权Hardy-Lebesgue空间和加权Hardy-Sobolev空间，建立了该函数空间的一个新的小支集原子分解及其特征刻画；研究了奇异Schrodinger方程在Lipschitz区域上的Hardy边值问题和Hardy-Sobolev边值问题；建立了区域上的非线性p-Laplace-Schrodinger方程的极大值原理和Harnack原理；建立了非光滑区域上含奇异位势的散度型薛定鄂方程的高阶导数估计等。（2）完善了多线性奇异积分的高阶交换子的有界性理论，建立了Cohen-Gosselin型奇异核交换子及其高阶迭代的多线性交换子在加权中心Morrey空间和Lebesgue空间上的有界性。（3）完善了多线性奇异积分算子在非齐次底空间、非倍测度空间上广义空间有界性。（4）给出了拟距离测度空间的基本拓扑性质，引进了广义局部Morrey空间和广义局部Campanato空间，研究这些空间上多线性算子的有界性。（5）建立了多径向函数的傅里叶变换。（6）建立了Marcinkiewicz算子和Hausdorff算子的新有界性。（7）得到了小波刻画、多尺度分析、框架理论的一系列结果。（8）得到若干非线性差分方程中的震荡估计。（9）作为调和分析技术的应用，研究了分形布朗运动随机积分、期权定价理论等。.2012年至2015年已发表本项目研究成果论文48篇，其中SCI期刊29篇，一级核心2篇，超额完成了项目计划书预期的发表论文数量。本项目还建立了学科梯队，培养青年骨干5人、研究生12人。.本项目研究完善了多线性调和分析理论，丰富偏微分方程实调和分析技术，发展了随机方程调和分析技术，这些新结果和新交叉方法，将促进相关研究的进一步深入。