若干非标准核奇异积分及相关分数次非线性方程的研究

In this project, we study the non-standard kernel singular integral theory and its application in fractional nonlinear equations. The project will deal with the multilinear higher order iterative Cohen-Gosselin type Commutators of rough singular integral operators and the nonstandard Calderon-Zygmund kernel singular integral operators; and the boundedness, compactness, optimal weighted inequalities and optimal constant estimation on the Morrey type spaces based on the nonhomogeneous metric spaces will be established. we will focus on the boundedness and pre-compactness of the singular integral operator of the nonstandard variable kernel, the fractional integral operator generated by the differential operator semigroup and the fractional elliptic operator with singular potential and elliptic differential operator; and the integral representation of fractional Schrodinger operators and its regular estimates of Poisson kernel and Green function, Pohozaev type equation, etc. In this project, we will study the well posedness, regularity and partial regularity of fractional nonlinear equations on the non smooth region, such as fractional elliptic equation and fractional Schrodinger equation. We will also study their boundary value problems and their unique extension and Liouville type theorem, the Signorini problem and the lower dimensional obstacle problems.. The research on theory of singular integrals of non-standard kernel and fractional nonlinear equations will promote the development of harmonic analysis and harmonic analysis tools; which will find a new method to solve fractional nonlinear problems, promote the development of cross disciplinary analysis and to reconcile the two nonlinear equations. Therefor, it can be expected to get some meaningful results deeply.

本项目研究非标准核奇异积分理论及其在分数次非线性方程中的应用。讨论粗糙奇异积分算子的多线性高阶迭代Cohen-Gosselin型交换子和非标准Calderon-Zygmund核奇异积分算子，及在非齐次度量的各类函数空间上的有界性、紧性、最优加权和最佳常数估计；研究非标准核变量奇异积分算子、微分算子半群生成的分数次积分算子、分数次含奇异位势椭圆微分积分算子的有界性和拟紧性；研究分数次薛定谔算子及其泊松核和格林函数的正则估计、Pohozaev型等式；研究非光滑区域上分数次椭圆、分数次薛定谔方程等若干分数次非线性方程的适定性和正则性或部分正则性，相关的边值问题、唯一延拓性和刘维尔型定理、低维障碍问题。.非标准奇异积分理论和分数次非线性方程的研究将促进调和分析及调和分析工具的发展；为解决分数次非线性问题寻找新方法，促进调和分析和非线性方程两个领域交叉发展，将可以期望得到一些有意义的深刻结果。

C-Z奇异积分理论是调和分析的最重要内容之一，不满足C-Z奇异积分的标准核条件的，称之为非标准核奇异积分。本项目研究非标准核奇异积分理论并应用于非线性方程解的研究。一是研究了交换子与高阶交换子的端点有界性。在最弱核可积条件下，建立了高阶交换子的有界性和端点弱有界性，复合算子的端点有界性，带粗糙核交换子弱型端点估计和最优加权估计。二是研究了多线性变量核Cohen-Gosselin型交换子。建立了带粗糙核多线性分数次奇异积分和极大算子的C-G型交换子乘积空间上的最优多重权的有界性定理，建立最佳常数估计。三是研究了粗糙核多线性积分算子有界性与紧性。建立了多重β积分公式，连乘积核多线性分数阶积分乘积空间有界的充分必要条件，建立了非齐型度量空间上Log型带参数Marcinkiewicz积分m重交换子在Morrey空间上的有界性和紧性、Olsen型不等式。四是研究了抽象底空间上奇异积分在函数空间上的T1和Tb定理。建立了乘积Lipschitz空间上Journé型乘积C–Z奇异积分的T1定理，C-Z奇异积分在度量Lip空间上的T1定理。建立了带仿增生函数的乘积广义Lipschitz空间上的广义奇异积分算子Tb定理。五是研究了Bochner-Riesz平均算子的谱定理。建立了Beurling代数积分算子的稳定性，建立了B-R平均积分算子的谱不变性，建立了B-R平均在加权Triebel-Lizorkin空间、Besov空间的有界性。六是研究了几类非线性方程解的估计。建立了非线性薛定谔方程的解和孤子解性质，复修正KdV方程的逆散射解。建立了非线性耗散高阶Kirchhoff型方程的初边值问题，证明了整体解的存在性、有限时间爆破性质。七是研究了在数据科学和金融数学中的一些应用。建立了粒子群优化的对抗样本生成算法。建立了随机微分方程的分数伊藤公式，建立了次分数布朗市场的几何亚式期权微分方程模型及其解性质。本项目研究成果创新了非标准核调和分析理论。