计数-枚举组合学若干问题的研究

正像数学大师I.M.Gelfand预言的那样，组合数学已经成为现代数学研究的前沿领域，计数-枚举组合学是组合数学研究的核心内容。本项目计划以组合映射、对称函数、反演、Bailey链、Cauchy方法等为基本工具，寻求新的系统思想和方法，从新的高度、更高层次去研究组合序列与分拆理论的组合结构，包括由此产生的组合恒等式、代数性质、q-级数理论、Theta函数等，重点研究组合序列的组合结构、多变量基本超几何级数。建立新的组合恒等式及其组合解释、新型多重Rogers-Ramanujan型恒等式、基本超几何级数的U(n+1)拓广、Theta函数恒等式与更高阶模恒等式等研究成果。本项目的目标是建立系统的研究方法，使我们的研究再上一个台阶，取得前沿领域的创新性研究成果，进一步建设好我们的学术梯队。

计数与枚举是组合分析的主要研究内容，其在信息学、数论、特殊函数论、代数表示论等领域具有广泛的应用。本项目开展了计数-枚举组合中的组合序列与组合恒等式、有限域上的置换多项式、Milnor-Witt K-理论、多变量基本超几何级数理论以及Theta函数及其应用等的研究。得到的主要成果为：给出了著名的Calkin恒等式及其交错形式的q模拟；建立了一系列涉及组合序列的组合恒等式；给出了有限域中的两类置换多项式，解释了多人在置换多项式搜索实验中的数值结果。描述了特征不为2的域的非负维Milnor-Witt K-理论与一类群环中增广理想的张量代数之间的关系，明确了此类加群的结构；建立了若干基本超几何级数公式的多变量拓广，包含Euler求和公式的有限形式和初文昌的结果，建立了若干双边级数与单边级数的变换关系，推广了一些著名结果；特别是本项目建立了Agarwal-Andrews-Bressoud Bailey格的U(n+1)拓广，在此基础上，给出了几个著名结果的多变量形式，包含著名的Rogers-Ramanujan恒等式。我们建立了一组Ramanujan无限乘积的模恒等式，并且用Theta函数的思想与方法解决了一些晶体在高压下形变方程的级数解。项目期间，我们承办了第五届全国组合数学与图论大会，大会共有来自中国科学院、北京国际数学研究中心、清华大学、香港浸会大学、南开大学、中山大学等全国160余所研究机构、高校的530余位专家、学者参加，是迄今规模最大的"组合数学与图论"学术盛会。在本项目实施过程中培养硕士6名，发表论文17篇，引进相关博士3名，已经初步形成一个有特色的学术队伍。