随机泛函微分方程P-均值概周期解多重性及指数型二分性

本项目主要研究随机泛函微分方程解过程的概周期性和随机扰动下的指数型二分性：(1) 齐次线性It?型微分方程指数型二分性及其在随机扰动下的不变性和粗糙度。 (2) 用随机分析和非线性泛函分析的方法研究随机泛函微分方程P-均值概周期解的存在性和稳定性；特别是重要的稳定性问题，相关的文献报道较少见。本项目将着重讨论其中的矩稳定性和轨道稳定性。 (3) 在随机泛函微分方程P-均值概周期解存在性的基础上，进一步研究基于可分Hilbert子空间构造下P-均值概周期解的多重性问题(关于P-均值概周期解的互存性问题，目前尚没有较好的结果）。.本项目进一步完善在随机扰动下指数型二分性的不变性和粗糙度理论，刻画二者与随机扰动之间的内在关系；并且讨论随机泛函微分方程解的P-均值概周期性和相关的稳定性，进而深入研究P-均值概周期解的多重性问题。

在本项目中，我们研究了随机泛函微分方程P均值概周期解的多重性，指数型二分性和相关的稳定性问题。为了弄清指数型二分性和多个P均值概周期解存在性问题，我们研究了一些齐次线性微分方程的随机积分不等式的性质，取得了一些随机泛函微分方程解的随机有界性结果。基于随机泛函微分方程P均值概周期解多个存在子空间难以应用通常的不动点理论和相关的微分不等式技巧获取，相关的研究比较困难。我们从以下四个方面开展我们的研究计划：1) 泛函微分方程多重稳定的动力学结构（包括神经网络模型的相关问题）；2）测度链上泛函微分方程解的存在性和稳定性问题（包括多重解）；3）泛函微分方程概周期解的存在性和指数型二分性。我们也研究了相关差分方程周期解的个数问题和稳定性问题。随机指数型二分性的粗糙度问题有待今后进一步深入探索。