带形上几类随机游动与扩散过程的局部时重整化极限关系

Random walk and diffusion process, random walk in a random environment and diffusion process with random potential, have a relationship about scaling limit. The project will study three classes of random walks on a strip. The scaling of the random walk limits to diffusion process, and we furthermore discuss the relationship between the scaling limit of the local time of random walks and the local time of the diffusion processes. For random walk on a strip in the case of with state-independent, with asymptotically zero perturbation, in random environment, we study the scaling limit of the local time, and find out the relationship with the local time of Brown motion, Bessel process, Brox's diffusion process respectively.. With the help of the intrinsic branching structure of random walk on a strip, the local time of random walk on each layer can be expressed by branching processes. We can study the scaling limit of local time of three several classes of random walks, by use of the scaling limit property of the corresponding branching processes. And furthermore we prove the scaling limit of the local time is just the local time of the corresponding diffusion process, which is the scaling limit process of the random walk. In the case of in random environment, scaling only for the random walk is not enough. We need firstly construct a sequence of new random environments by random potential theory. Secondly with the help of embedded Markov chain, we will construct the scaling limit of Sinai's random walk, which is a jump-diffusion process with random potential. Finally we will prove the scaling limit of the local time of the random walk in a random environment is the local time of the diffusion process with random potential.

随机游动与扩散过程，随机环境中的随机游动与随机位势驱动的扩散过程，具有重整化极限关系。本项目对带形上几类随机游动，在过程本身重整化收敛的基础上，进一步研究局部时的重整化收敛问题。对空间齐次，有渐近扰动，随机环境中，这三类带形上的随机游动，分别研究其局部时与Brown运动，Bessel过程，Brox's扩散过程局部时的重整化极限关系。. 借助带形上随机游动的内蕴分枝结构，将带形上随机游动在每一列的局部时用分枝过程表示。拟通过研究相应的分枝过程的重整化极限，分别探讨这三类随机游动局部时的重整化极限，并进一步证明此极限过程正是相应的扩散过程的局部时。对随机环境的情形，无法仅对游动重整化，需首先借助随机位势理论构造一列新随机环境。之后通过构造嵌入马氏链的方法，找到Sinai's游动的重整化极限过程(随机位势驱动的跳-扩散过程)，再研究两者局部时的重整化极限关系。

带形Z*S上的随机游动，主要研究游动Z-部分的极限性质，Z是游动的主要空间，S上的游动起着影响Z上游动的作用。随机游动与扩散过程，随机环境中的随机游动与随机位势驱动的扩散过程，具有重整化极限关系。重整化极限研究离散模型与连续模型的关系，可利用离散模型研究连续模型的性质，有较强的物理学意义。项目对空间齐次，有渐近扰动，随机环境中，这三类带形上的随机游动，研究游动及其局部时的重整化收敛问题，以及这三类随机游动极限性质，局部时所对应的分枝过程的相关极限问题。. 项目揭示了带形上随机游动的内蕴分枝结构，将带形上随机游动在每一列的局部时用分枝过程表示。对空间齐次情形，发现游动Z-方向的重整化过程收敛到Brown运动。借助内蕴分枝结构，将游动局部时问题转化为对多物种Galton-Watson过程的研究，并证明了一维弱收敛。项目还研究了Galton-Watson过程中鞅密度函数的Lipschitz连续性、通过构造条件Galton-Watson树的方法研究粒子数的构造性性质。. 对有渐近扰动情形，项目在中心极限定理型的弱收敛性质的基础上，严格证明了游动的重整化极限性质。利用分枝结构研究Z-方向紧邻游动局部时的重整化极限时，项目用验证一阶二阶和三阶矩满足Kurtz(1978)定理条件的方法。由于紧邻时可将游动的矩转化为对渐近扰动的限定，项目精细研究了扰动矩阵的阶对游动常返暂留性的影响。. 对随机环境情形，项目借助随机位势理论构造了一列新随机环境并构造了嵌入马氏链，将游动转化为一维情形进行研究。对Sinai's 游动，借助内蕴分枝结构，将新RWRE在每一列的局部时用随机环境中的分枝过程表示，用验证Kurtz(1979)定理条件的方法。基于内蕴分枝结构有力工具，项目对随机环境(2,1)随机游动中环境参数，构造M估计量并证明了相合性、渐近正态性，得到数值行为上相合性及渐近置信区间；对随机环境中跳幅有界随机游动，研究了最右粒子位置的极限性质。项目还构造了一类一般的带变异的分枝粒子系统, 证明其重整化极限收敛到某个满足一常积分方程的测度值函数。在项目资助下，负责人共发表5篇文章。