具有时滞的多种群模型的行波解及相关问题研究

Firstly, we study the existence of traveling waves for n-species Lotka-Volterra competition and predator-prey models with delays and nonlocal diffusion. To obtain the result, we first give the traveling wave solutions of n-component delayed nonlocal-diffusion systems. When the reaction terms satisfy the weak quasimonotonicity or the weak exponential quasimonotonicity and the partial quasimonotonicity or the partial exponential quasimonotonicity, the existence of traveling waves is established by using a cross iteration scheme, and Schauder's fixed point theorem together with upper and lower solution methods. Secondly, we discuss the traveling waves of temporally discrete diffusion-competition systems with delays. The existence of traveling waves connecting two half-positive equilibria can be established. We also discuss the asymptotic behavior at the minus/plus infinity by means of Ikehara's Theorem, and then apply the strong compassion principle and the sliding method to obtain the uniqueness of traveling waves. And the asymptotic stability of traveling waves is obtained by weighted energy methods and comparison principle. Lastly, we consider the existence of traveling waves of predator-prey systems with delays and Holling-II or III type.

首先，研究具有时滞和非局部扩散的n个种群Lotka-Volterra竞争系统和捕食系统的行波解的存在性。为给出这个结果，先研究n个分量的时滞非局部扩散系统的行波解，在反应项满足弱拟单调条件或弱指数拟单调条件以及偏拟单调条件或偏指数拟单调条件下引进交互迭代格式，利用Schauder不动点定理结合上下解技术建立行波解的存在性。其次，研究具有时滞的离散时间的反应扩散竞争系统的行波解，先建立连接两个半正平衡点行波解的存在性，利用Ikehara定理讨论行波解在正、负无穷远处的渐近行为，利用强比较原理和滑动方法证明行波解的唯一性，并利用加权能量方法结合比较原理的方法建立行波解的指数渐近稳定性。最后，考虑具有时滞和Holling-II或III型功能性反应的捕食系统的行波解的存在性。

在种群动力学的研究中，种群之间的关系可分为：捕食、竞争、互惠。对它们的研究，能使人们了解自然界中种群与环境以及种群之间的规律，这对合理开发资源，环境保护起着重要作用。行波现象是自然界较为普遍的现象，它很好得解释了物理、化学、生态、流行病学和神经网络等学科中的振动以及扰动以有限速度传播的现象。例如，种群动力学中物种的发展、迁徙和入侵都可以用行波解来描述。因此，研究行波解的问题具有非常重要的意义。本项目主要研究几类具有时滞和空间扩散的种群模型的行波解。. 首先，研究一类具有非局部扩散和时滞的n个竞争物种行波解的存在性。为了得到结果，利用上下解方法、交错迭代和Schauder不动点定理研究非局部扩散系统满足弱拟单调条件和弱指数拟单调条件行波解存在性的一般理论。将n个竞争物种行波解的存在性问题归结为上下解的存在性问题。为证明理论结果的正确性，我们对4个竞争物种进行了数值模拟。同时，以新生儿的消化系统作为此类种群模型的生物例子。. 其次，研究一类具有时滞的离散时间竞争扩散系统的行波解的存在性。我们利用单调迭代和上、下解技术，在反应项满足拟单调条件和指数拟单调条件时给出一般的时滞离散时间反应扩散系统波前解的存在性。通过构造满足要求的上下解得到了时滞的离散时间竞争扩散系统的行波解。. 接着，研究一类具有时滞和捕获的阶段结构Beddington-DeAngelis功能性反应的捕食扩散系统平衡点的稳定性和行波解的存在性。通过分析对应的特征方程得到了系统平衡点的局部稳定性。利用交错迭代和Schauder不动点定理将行波解的存在性转化为合适的上下解的存在性。. 最后，研究一类具有非局部扩散和时滞的n个食物链模型的行波解的存在性。通过引入部分拟单调条件，利用上下解方法、交错迭代方法和Schauder不动点定理，对一类抽象的非局部扩散系统建立行波解的存在性。然后将所得结果应用到所考虑的模型中。