非单调系统的行波解及一些相关问题

首先，研究具有时空时滞（或非局部反应项）和扩散项的三个种群Lotka-Volterra竞争模型的行波解存在性。为了给出这个结果，先推广2个泛函偏微分方程组的理论到n个泛函微分方程组满足弱拟单调条件或弱指数拟单调条件，再借助于适定的上下解使用交叉迭代和不动点定理得到行波解的存在性。其次，研究积分差分方程的行波解的一些性质（唯一性、渐近性及振动性）。对非临界波，借助Diekmann和Kaper的工作,得出行波解的唯一性及渐近性。而对临界波，需要借助Ikehara定理得到它的渐近估计并确定其唯一性。另外，许多学者通过选择适当的参数数值模拟振动波的确存在，但没有给出数学证明。对这个事实将使用渐近传播速度的性质得到。最后，考虑格上具有时滞的非单调系统的单调行波解存在性及其性质；采用最近Yu和Yuan发展的方法以下解作为初始迭代的技巧研究单调波的存在性。

行波现象已被发现广泛地存在于物理、生物、生态、流行病学和神经网络等学科之中。例如，在平静的湖面投入一块石头所形成的波纹（实质上是能量的传播过程）、物理学中描述晶体状态转化的过程、化学反应中被用来表示浓度的变化、生物学中的生物入侵及流行病学中疾病传播过程等等都可以用行波解来描述，其共同特点是它们在空间的传播以常数速度传播，并且保持形态不变。在现实中，时滞滞后和空间扩散现象都是普遍存在的。因此对时空时滞反应扩散方程研究引起各领域学者的密切关注。本项目主要研究研究几类具体的非单调系统行波解的存在性、渐近性及唯一性等。. 首先我们利用偏微分方程基本理论、交叉迭代和不动点定理研究了非局部扩散方程满足弱拟单调条件或弱指数拟单调条件的行波解的存在性理论。这结果能够很好的运用到具有一般的时空时滞种群Lotka-Volterra 竞争模型的行波解存在性。. 其次，我们得到了积分差分方程的行波解的一些性质，尤其是振动性。因为许多学者仅仅通过选择适当的参数数值模拟振动波存在性，但没有给出数学证明。对这个事实我们将使用渐近传播速度的性质得到。对非临界波，借助Diekmann 和Kaper 的工作, 得到了行波解的唯一性及渐近性。而对临界波，借助Ikehara 定理得到它的渐近估计并确定其唯一性。. 接着，研究格上具有时滞的非单调单种群人口模型的单调行波解存在性；我们给出一般的格上泛函微分方程的行波解的理论，采用了Yu 和Yuan (DCDS-B, 2010.)发展的方法即以波象方程的下解作为初值迭代新的单调迭代方法。根据适定的上下解，我们的理论不仅能运用到单稳的格上反应扩散方程而且也适用于双稳的格上反应扩散方程。通过这种迭代我们可以构造满足我们所要求的上下解以至于成功地解决了公开问题。并进一步了行波解的唯一性及渐近传波速度问题。. 以上这些就是本项目需要完成的主要内容。为了后续工作研究，再加上对研究行波解问题方法及理论的运用及加深，我们继续考虑了非单调的非局部扩散方程的行波解的存在性、唯一性及渐近性。并研究了格上单种群单调行波解的稳定性。尤其是现在正在研究细胞神经网络系统的行波解问题。而且仅仅对细胞神经网络系统的行波解的存在性已经取得了一些很好的结果（J. Diff. Eqns，2011）及（Abstr. Appl. Anal.,2014）。