第二类弱奇异Volterra积分方程的高效数值算法

Weakly singular Volterra integral equations (VIEs) have extensively applied background. Usually, there are no exact solutions for VIEs. Solutions of weakly VIEs are also weak singular because of the weak singularity of the kernels, which limits the convergence order of the numerical solutions. Postprocessing techniques are important efficient means to improve the accuracy of numerical solutions, in which interpolation postprocessing has distinct advantage in solving weakly integral equations and convergent order of numerical solutions of lower degree can be improved by the correction technique. Based in several existing numerical methods, postprocessing techniques are extensively used in smooth case of VIEs. But the interpolation postprocessing and correction technique of collocation solutions and Galerkin solutions under graded mesh, hybrid collocation solutions under quasi-uniform partition and expansion and extrapolation of integral identities are not involved. Numerical methods for high dimensional weakly singular VIEs are also rarely been studied because of the high computational complexity. In this project, we will use the interpolation postprocessing, correction technique, and expansion and extrapolation of integral identities to improve the convergence order of the numerical solutions for weakly singular VIEs (linear and nonlinear case). The comparison between the interpolation postprocessing and iterated postprocessing will be also involved. In order to reduce the computational complexity of numerical solutions in high dimension, we will combine the fast algorithms and postprocessing techniques, and then get the superconvergent but relevant simple numerical solutions.

弱奇异Volterra积分方程具有广泛的应用背景。此类方程通常没有精确解，且核函数的弱奇异性导致其解也有一定的奇性，相应数值解的收敛阶受到限制。后处理加速技术是提高数值解精度的有效手段之一，其中插值后处理技术在求解弱奇异积分方程中优势明显，校正技术可提高低次数值解的精度。在已有数值解法基础上，后处理加速技术已广泛应用于光滑核情形，而其在弱奇异情形下的研究较为薄弱，尤其是等级网格下配置解、Galerkin解、拟一致网格混合配置解方面尚未利用插值后处理、校正和积分展开式技术提高数值解的精度。由于计算复杂度高，高维弱奇异问题的数值方法及加速技术也鲜有涉及。本项目拟利用插值后处理、校正、积分展开式和外推技术，提高线性及非线性弱奇异Volterra积分方程数值解的精度，并分析插值后处理在求解此类方程的优势；将快速算法与后处理加速技术结合，应用于高维弱奇异问题，在降低计算复杂度的同时提高数值解的精度。

因非局部性和反映材料的记忆性质，弱奇异Volterra积分方程具有广泛应用背景。.1. 我们针对弱奇异积分方程，使用插值后处理技术和谱方法，得到了计算量小但精度高的数值解。.1）基于弱奇异Volterra积分方程的配置解和混合配置解，使用插值后处理技术，得到了多种形式的后处理插值配置解（基于配置点及基于最小二乘法）、插值混合配置解的超收敛结果，并比较了插值后处理与迭代后处理的计算复杂度，验证了插值后处理技术在求解弱奇异问题方面的优势。.2）与弱奇异Volterra积分方程仅在一个端点处出现奇异的性质不同，弱奇异Fredholm积分方程在求解区间的两个节点上均出现弱奇异。我们将第二类弱奇异Fredholm积分方程分解成两个第二类弱奇异Volterra积分方程。针对弱奇异点，对两个第二类弱奇异Volterra积分方程分别使用雅各比谱配置法和雅各比谱Galerkin法，得到第二类非线性弱奇异Fredholm积分方程雅各比谱方法的超收敛结果。.2. 与Volterra积分方程能描述带记忆的问题相类似，延迟微分方程的解亦依赖于其过去的状态，具有非局部性。我们针对延迟微分方程这类非局部问题，采用多种数值解法，得到了一系列结果。.1）在一致网格剖分下，研究了比例延迟微分方程连续有限元解的超收敛性。基于节点的超收敛结果，得到了真解插值与连续有限元解之间的超逼近结果，找到了连续有限元解的所有超收敛点；一致网格无法捕捉其间断性，我们通过构造拟几何网格，得到了连续有限元解更高阶的超收敛结果。.2）针对非线性延迟微分方程，在拟等级网格下，得到了间断有限元解的整体收敛与局部超收敛结果；并利用间断有限元方法研究了多比例延迟微分方程，分别得到了一致网格下光滑解和等级网格下弱奇异解两种情形的整体收敛性结果；对非线性变时滞微分方程及状态依赖延迟微分方程，进行拟等级网格下间断有限元方面的研究，得到了节点近乎平方阶的超收敛结果。.3）针对时间无界生物模型问题，通过构造有效的局部吸收边界条件，将无界问题转化为有界问题，并用有限差分格式求解此类问题，给出了相应的误差和稳定性分析。