随机偏微分方程最优控制问题的径向基函数逼近

The deterministic optimal control problems of PDEs have been widely applied in real-life applications and engineering design, such as industrial production, environment treatment, and medical care, etc. It is obvious that efficient numerical method is crucial to successful applications of the control problems. As we know, mathematical models of complex systems often result in partial differential equations, however the parameters, coefficients, or boundary conditions of the PDEs are mostly uncertain. Therefore, it is rational to model the uncertainty as random processes, which generate the stochastic PDEs and its optimal control problems. Recently years, many mathematician have pay close attention to optimal control problems of PDEs with stochastic inputs.. The research of this project focus on two numerical methods for optimal control problems of stochastic PDES to avoid the dimensional crysis and low convergence rate of the existing methods. On one hand, we will investigate the Galerkin method by radial basis functions. On the other hand, the stochastic collocation method will be introduced by radial basis functions and spectral method (or finite element method). We will develop the work on the existence of optimal solution and optimality conditions for stochastic optimal control problems. Furthermore, the numerical schemes and the corresponding fast algorithms for discrete systems will be constructed. Lastly, the numerical examples will be carried out to confirm the error analysis and the efficiency of the proposed methods.

确定性偏微分方程最优控制问题已被广泛应用于工业生产、环境治理以及医疗等各个领域，其成功应用依赖于高效的数值求解方法。而将随机因素（如模型中参数、系数以及边界条件的随机影响）考虑进去的随机偏微分方程最优控制问题的数值求解则是当前的一个研究热点。. 针对目前求解随机偏微分方程最优控制问题数值方法所存在的维数灾难以及收敛较慢等缺点，本项目将借助径向基函数构建随机最优控制问题的两种数值求解方法：一是径向基函数随机Galerkin方法逼近，二是径向基函数随机配置法逼近。证明随机最优控制问题解的存在唯一性，推导最优性条件，构建数值逼近格式，给出误差估计，设计离散系统的高效求解算法并通过数值实验验证理论结果。

高效的数值方法对具有随机场系数偏微分方程最优控制问题的理论研究和实际应用具有重要意义，也是当前的研究热点。经典的数值方法对这类问题的求解存在诸多不足，本项目率先使用无网格随机Galerkin方法和无网格随机配置法加以求解，并对研究中涉及的相关问题展开了讨论。. 研究了具有随机场系数椭圆方程最优控制问题的径向基函数随机Galerkin方法和配置法求解。利用Karhunen-Loève展式，原问题的求解被转化成由有限个随机变量所描述问题的求解。对随机变量服从均匀分布和贝塔分布等非均匀分布情形分别进行了讨论，并根据随机变量所服从分布的特点选取抽样点作为生成径向基函数的支撑点。对径向基函数随机Galerkin方法，在物理空间方向使用谱方法和有限元方法加以离散，在概率空间上使用多种径向基函数加以逼近。根据对偶论证技巧、各类径向基函数插值误差和多项式投影结果，推导出收敛性分析。对径向基函数随机配置法，大量研究了径向基函数插值性质和效果，结合概率空间上的径向基函数插值和物理空间方向的多项式插值，给出了随机控制问题的径向基函数随机配置法求解格式和收敛性分析。数值实验表明：对于高维随机空间情形，尤其是随机变量服从非均匀分布情形，径向基函数求解比经典的Monte Carlo方法和张量多项式随机方法效果更好；径向基函数随机配置法与Galerkin方法精度相当，但前者能节约大量计算与时间，更适用于高维随机空间情形。另外，对抛物方程最优控制问题，构造了基于对偶Petrov-Galerkin格式的时空谱方法逼近，给出了在时间和空间方向均能达到高阶精度的数值格式，在此基础上探讨了具有随机场系数抛物方程最优控制问题的径向基函数随机Galerkin和配置法求解。. 研究了流体最优控制问题的谱方法逼近；对配置法进行了深入研究，用其求解了积分微分方程和具有随机场系数及源项的椭圆方程，给出了收敛性分析；研究了非线性椭圆方程的多水平和自适应有限元方法求解；研究了与优化问题密切相关的互补性问题和绝对值方程的求解，构造了二次收敛的有效算法。