多尺度随机系统和相互作用粒子系统的稀有事件的研究

This project is devoted to study the transition mechanism of the rare events in the multiscale stochastic system and the interacting particle system. Specifically, it contains the calculation of the most probable transition path and the transition rate in the slow-fast process, the transition path, the transition rate and the transition state in the interacting particle system. So far we have constructed the numerical method to calculate the saddle point in slow-fast system and obtained some preliminary results for the interacting particle system containing only one group of particles. These need to be further improved. In terms of the slow-fast process, we plan to construct an algorithm with high efficiency to locate the transition path by combing the string method and the heterogeneous multiscale method. We also apply the transition path theory for the slow-fast system to derive strictly the expression of the transition rate. The main difficulty lies in deriving and solving the partial differential equation for the committor function. While for the interacting particle system, we will utlize the gentlest ascent dynamics, the string method and the transition path theory to calculate the transition state, the transition path and the transition rate, respectively. Thus we can clarify the interacting mechanism for the interacting particle system with multiple groups. The study of rare events in the two aspects has important theoretical significance and practical value on scientific engineering computing and risk analysis in the financial market.

本项目着重于研究多尺度随机系统和相互作用粒子系统中稀有事件的转移机制，具体包括快慢过程中慢变量的亚稳态之间的最大概率转移路径和转移速率，多组相互作用粒子系统的亚稳态之间转移路径，转移速率和过渡态的计算。目前申请者已经找到了快慢过程中有关过渡态的计算方法，并初步得出了一组相互作用粒子的体系的转移路径，需要进一步完善。针对快慢过程，本课题拟将弦方法与异构多尺度方法相结合，构造出一种寻找快慢过程转移路径的高效算法；并应用转移路径理论，严格推导出快慢过程中转移速率的计算表达式，主要困难在于推导并求解委托函数所满足的偏微分方程。针对多组相互作用粒子系统，本课题拟利用最温和上升动力学，弦方法和转移路径理论来分别计算体系的过渡态，转移路径，以及转移速率，阐明多组粒子系统之间的作用机理。研究这两方面的稀有事件对科学工程计算和金融市场风险性分析都具有重要的理论意义与实际价值。

本项目着重研究了稀有事件中的转移机制，主要包括多尺度随机系统和相互作用粒子体系的亚稳态之间的转移路径以及过渡态的计算。对于相互作用粒子体系，我们借助哈密顿动力学和几何最小作用量方法（gMAM）分别找到了亚稳态之间的最短时间到达路径和最大概率发生路径以及相应的过渡态，并阐明了两种路径之间的关系。基于鞍点搜索方法最温和上升动力学（GAD）和迭代优化格式（IMF），结合投影思想，我们提出了一种用于寻找能量势函数在H^(-1)测度下的鞍点的方法，此方法可以使问题转化为一个低两阶的问题来求解，从而大大降低运算量，同时还能保证和原来的GAD及IMF相同的收敛速度；我们还将IMF和动力学方程求解数值算法SAV相结合，构造了一种无条件能量稳定的数值格式来计算鞍点，这样可以保证大时间步长。此外，我们通过借助高斯过程回归（GPR）建立了一个替代模型，又结合贝叶斯实验设计方法来确定训练点的合适位置，这样可以避免计算能量势函数的各阶导数，从而为鞍点的计算提供了一个高效的算法，该算法既适用于梯度系统，还适用于非梯度系统。以上工作为稀有事件在科学工程计算中的应用提供了很重要的理论意义及高效的数值算法。