经典数论问题的若干变种

5 years ago, inspired by the form of abc-conjecture, we considered the addition and multiplication of integers together, raised a variant of Hilbert-Waring's problem, and we made beautiful progress without losing its depth and difficulty. Now, we want to apply this idea to perfect numbers, Fermat's last theorem and other claasic number theory problems, meanwhile, we will raise several new problems and conjectures, solve or partly solve some of them . As for the tool and method, we will use basic number theory and analytic number theory, especially the properties and theory of elliptic curves. Since FLT was proved, the old elliptic curves is active and attractive again, number theoriests pay more and more attention to it. We find that the combination of addition and mulplication of integers （called yin-yang equations）could transform some of the problems to the integral or rational solutions of the elliptic curves, and help to rasie totally new problems, i.e., figurate prime and abcd-equation. As many of the great mathematicians noticed, the studying and investigation of the integral and rational solutions of some Diophantine equations will lead us to the deepness in mathematics. The problems and plans of this project are new, profound and meaningful, we believe that it will help us to wide and enrich the study of contemporary number theory. In particular, we have made more progress in the past 2 years towards our project.

5年前，受abc猜想的形式启发，我们把整数的加法和乘法结合起来考虑，针对希尔伯特-华林问题，大胆尝试自己的想法并付诸实践，取得了很好的效果，且不失深度和难度。现在，我们想把这个思想应用于完美数问题、费尔马大定理等经典问题，拓展出新的研究领域和方向，解决或部分解决其中的若干问题。在使用工具上，除了组合数论和解析数论方法以外，椭圆曲线理论也将起重要作用。随着费尔马大定理的证明，古老的椭圆曲线又焕发出新的活力。而把加法和乘法结合起来(被外国同行称为阴阳方程)后，某些问题可归结为椭圆曲线的整点或有理点求解，包括形素数和abcd方程在内的新问题也因此得以提出。如同一些数论大家注意到的，考察某些丢番图方程的整数或有理数解会引导我们到数学的深处，本项目的选题新颖、深刻而有意义，成果的取得将帮助国内外同行拓宽和丰富数论研究。特别需要提及的是，经过过去2年的努力，我们的研究基础比以往更加扎实了.

首先，关于新华林问题，我们不仅求得并证明了相当于原华林问题g(k)的g’(k)d精确结果，同时得到了相当于原华林问题G(k)的G’(k)的猜想结论，并经过多次努力对较大范围的k 给出了较为精确的上界估计，但要证明我们提出的猜想其难度仍与原华林问题相当。需要指出的是，250年过去了，原华林问题g(k)的证明仍难求，G(k)的精确估值更是无法猜测。. 其次，我们把加乘方程的思想应用于费马方程，得到了费马大定理的完全推广。众所周知，在abc猜想成立条件下，费马大定理及其已知的两个推广——比尔猜想和卡塔兰-费马猜想，乃至其他三项获得菲尔兹奖的成果均是显而易见的。德国数学家验证后指出，即便在abc猜想假设条件下，我们的猜想仍是坚挺的。新费马方程对应的是半稳定椭圆曲线 y^2=x(x-A)(x-B)，普林斯顿高等研究院的同行认为，可以用怀尔斯证明费马大定理的方法研究这个问题。. 再次，我们提出了平方完美数问题，并得到了一个正整数是平方完美数的充分必要条件，使之与13世纪发现的斐波那契序列中的孪生素数对一一对应，正如原来的偶完美数问题与17世纪的梅森素数一一对应。同时发现了孪生素数猜想于平方完美数之间存在着密切的关系。关于平方完美数问题，我们已完成渐次递进的多篇论文。依据此项成果撰写的学术著作《完美数与斐波那契序列》也正在进行中，并获得了2019年度国家科技学术出版基金的资助（参见附件1）。我们的研究结果应验了爱因斯坦的名言，“真正的定律应是非线性的”。. 能够提出新的雅俗共赏的数论问题，并把经典数论问题包含其中，我们成功地做到了。此外，我们也研究了其他有意思的数论问题。如同一些数论大家注意到的，考察某些丢番图方程的整数或有理数解会引导我们到数学的深处。