有限维代数的导出表示型

This project is the crossing field of homological algebra, algebraic geometry and representation theory of algebras, which is mainly to apply the algebraic geometric and homological algebra method to study the openness of derived representation type of finite-dimensional algebras over algebraically closed fields by introducing the geometry to the projective module complex category of fixed size. We will consider the questions as follows: (1) prove the openness of all derived finite algebras and derived discrete algebras of dimension d in the affine variety consisting of all d-dimensional algebras; (2) establish a necessary condition for the validity of derived Tame-open conjecture, i.e. the degenerations of derived wild algebras are derived wild; (3) describe the derived Tame-open conjecture and derived Wild-rank conjecture, observe the relation of these two conjectures, and also explore some examples to support derived Tame-open conjecture via studying the concrete classes of algebras.

本项目为同调代数、代数几何、代数表示理论的交叉领域，主要利用代数几何以及同调代数方法研究有限维代数的导出表示型，揭示代数几何与代数表示理论的紧密联系。本项目通过对宽度固定的投射模复形范畴引入几何，研究代数闭域上的特定导出表示型的有限维代数是否为开集合。我们将研究以下问题：(1) 证明导出有限代数与导出离散代数的开性质，即维数为d的导出有限代数及导出离散代数构成d维代数的开子集；(2) 证明Tame-open conjecture导出版本成立的必要条件，即导出wild代数的退化仍然是导出wild代数，从而提供导出表示型的几何判定准则；(3) 讨论导出Tame-open conjecture，并揭示它与导出Wild-rank conjecture之间的关系,并通过低维的有限维代数以及具体的代数类，验证它是否成立。

本项目为同调代数、代数几何、代数表示理论的交叉领域，主要利用代数几何以及同调代数方法研究有限维代数的导出表示型。代数导出表示型主要研究有限维代数的有界导出范畴中不可分解对象的分布和分类问题，是表示理论中一个重要的研究课题。目前有限维代数的导出表示型问题受到了国内外代数表示论专家的广泛关注，特别是导出范畴中倾斜理论，覆盖函子等独特方法的建立，以及代数组合、同调和几何方法在表示理论中的发展，为研究有限维代数的导出表示型提供了可行的工具。. 通过对本项目的研究，在代数的导出表示型的同调方法研究方面取得了一些进展。主要包括：与合作者证明了整体维数有限的gentle代数的导出等价函子都是标准的；证明了gentle代数有界导出范畴的不可分解对象的上同调长度是连续的；与合作者刻画了导出唯一的至多还有一个圈的gentle代数；研究了有限维代数导出范畴及其子范畴的表示型问题，证明了子范畴的Brauer-Thrall型第一定理；利用cleaving函子给出导出tame代数的一个判别条件并揭示了自入射Nakayama代数是导出tame代数的充要条件；研究了三角范畴中厚子范畴和Abel范畴中宽子范畴之间的联系，并利用H-性质给出了一个直向代数是遗传代数的充要条件。. 表示型问题是代数表示理论中的重要问题之一，本项目的研究代数导出范畴的表示型问题，加深了对代数导出范畴的理解，并对导出范畴的研究中的cleaving函子、不可分解对象的截断与粘合等方法进行了探讨，一定程度上促进了导出表示型的研究。