非凸二次约束优化问题的二阶锥重塑技术等全局性方法研究

Nonconvex quadratic constrained programming model is one of basic and hard nonlinear constrained programming models. Research on its global algorithms is an important research branch of nonlinear constrained programming. If a nonconvex quadratic constrained programming instance has a positive duality gap, one calls it the hard-case. In recent years, Burer et al and our research team have proven that the second-order cone reformulation technique can narrow or delete the positive duality gap of the properly nonconvex instances. This shows potential power of the second-order cone reformulation technique. In this proposal it will be discussed that how and where does the second-order cone reformulation technique work validly. Based on the theoretic results, corresponding global algorithms will be designed for some nonconvex quadratic constrained programming models. Furthermore, some applications to signal processing and other fields are studied

非凸二次约束优化问题是非线性约束规划中基础性和难点性问题之一，对它们的全局算法研究是非线性约束规划的一个重要研究方向。当一个非凸二次约束优化问题具有正对偶间隙时，对该问题全局最优解的求解与判定都会变得困难起来。近年来，Burer等人及本项目申请人团队通过二次锥重塑技术有效缩小甚至完全消除了某些非凸二次约束优化问题的对偶间隙，取得了一系列重要结果，这些结果显示了利用二次锥重塑技术在求解非凸二次约束优化问题全局解上的巨大潜力。本项目将对非凸二次约束优化问题的二次锥重塑技术等全局性方法展开进一步研究，为有效缩小本质性非凸问题的对偶间隙提供理论基础，为若干重要的非凸二次优化问题提供更加有效的全局算法，并将相关研究结果应用到信号处理等应用优化模型的算法设计中。

本项目围绕最优化理论与算法中的重要理论性问题和信号处理中的应用性优化问题开展研究，取得了丰富的研究成果，促进了最优化理论与算法的发展，为信号处理领域相关优化问题提供了有效的数学求解方法。. 在理论性研究方面，（i）针对在5G网络中有广泛应用价值的单约束网络最短问题，解决了其对偶问题的多项式时间可解性难题；在此基础上，设计了高效获得全局最优解的精确算法，计算效率提高了两个数量级。（ii）针对当前内点算法中主流的将Ai-Zhang宽邻域和Mehrotra二阶校正项相结合的内点方法，提出了进一步获得二次收敛性的有效途径，缩短了计算时间，提高了计算精度。（iii）针对当前研究热点“深度学习”，对其反向传播迭代过程中需要使用的基础性优化方法“（随机）梯度方法”，探讨了加快收敛速度的各种有效途径，提高了计算效率。. 在应用性研究方面，（i）针对在光纤光信号传播中有广泛应用价值的光子晶体结构设计进行研究，对设计中遇到的偏微分方程（PDE）最优控制问题给出高效求解算法。（ii）网络安全问题研究：针对无线通信中继信号物理安全问题，提出了一类可以有效防止窃密的鲁棒性中继信号波束成形设计。针对物联网下的个人隐私安全保护问题，给出了一种敏感信息净化方法，满足个人隐私保护要求。（iii）信号检测问题研究：针对网络传输异常情况检测问题，给出了一种基于向量支撑机的检测模型，有效维护了网络传输安全。针对无线通信频谱感知问题，提出了一种基于残差神经网络的信号检测方法，频谱感知能力大幅提高。