电磁超材料中的数学模型分析及模拟

After the successful construction of the so-called double negative metamaterials in 2000, there has been a growing interest in the study of .metamaterial construction, and potential applications of metamaterials from macrowave regime to optical regime. Due to the cost and/or impracticability of the physical experiment, computer simulation plays a very important in the discovery of exotic applications of metamaterials. Though much progress has been made in the last 15 years, there are still many issues to be explored. For example, the well-posedness of many models proposed by engineers have not studied by mathematicians yet. Due to its multi-physics property and dispersivity,the governing equations involving metamaterials always become much more complicated than the standard Maxwell's equations in free space. Study of those coupled partial differential equations (PDEs) is quite challenging. In terms of numerical simulation, solving the time-dependent three-dimensional Maxwell's equations coupled to other PDEs requires careful design of memory design and skillful algorithmic implementation. Our goal of this project is to continue our effort in analyzing those interesting models coming from metamaterial applications (such as the reversed Cherenkov radiation and the light-matter interactions in nanosctructures), and developing mathematically robust and efficient finite element schemes to solve them.

在2000年成功构造了所谓双负超材料之后，人们对超材料构造、从微波到光波频段的潜在应用越来越有兴趣。由于物理实验的费用及困难，数值模拟在寻求超材料的应用中起着非常重要的作用。尽管在过去15年取得了很大进展，还有很多问题亟待解决。例如，工程师们提出的很多模型从未被数学家严格证明其适定性。由于其带来的多物理性及弥散性，超材料的控制方程比传统的空气介质中的Maxwell方程要复杂得多。至于数值模拟，求解依赖时间的三维Maxwell方程需小心设计内存的使用及算法的实现。我们的目标是继续努力分析那些来自超材料应用中的有趣模型（如反向Cherenkov 辐射、纳米结构中的光电效应），发展一系列数学上正确并且高效的有限元算法求解它们。

超材料是近年来成功构建的一种人造纳米材料。由于其特殊的性能（例如负折射率）以及在电子设备、通信、传感器、亚波长成像和隐形斗篷中的潜在应用，自2000年以来，它的研究吸引了广大科学和工程界的极大兴趣。..在这个项目中，我们计划研究在工程和物理学界提出的那些有趣的超材料模型，并对其进行严格的数学研究，然后开发有效而准确的数值方法来求解它们。..在过去的四年中，我们研究了几种流行的完美匹配层模型，并建立了它们的能量稳定性，这在设计稳定而精确的数值方法来求解决这些问题以及把它们用在模拟波在超材料中传播模拟中起着非常重要的作用。我们还研究了地毯隐身，任意星形隐身，非线性Kerr介质模型和石墨烯模型。我们已经建立了这些模型方程的稳定性，并开发了各种数值方法来求解它们。我们所有的算法都用代码成功模拟了那些有趣的物理现象。..考虑到材料生产和参数测量带来的不确定性，我们也对随机麦克斯韦方程进行了研究。我们建立了随机麦克斯韦方程的第一个正则性结果，提出并分析了几种流行的求解随机方程组的数值方法。为了克服实施有限元方法编程的复杂性，我们还探索了径向基无网格方法，并开发了一些无网格方法来解决超材料中的复杂方程。..我们在高阶棱元的超收敛分析上也取得了突破。是我们首次发现并证明了二阶和三阶矩形和立方棱元的超收敛点的存在。..在过去的四年中，我们为自己的成就感到非常自豪（发表了18篇顶级SCI期刊论文，并在各种国际会议上做了多次特邀报告）。详细信息见报告。