超材料数值模拟及应用

In 2000, a group of physists at UC-San Diego successfully constructed an artificial nano-material, which has both negative permittivity and permeability, thus obtained the so-called negative refraction index metamaterial for the first time. Due to some exotic properties of metamaterials,the study of metamaterials have attracted scientists and engineers from various areas since 2000.In this project,we plan to investigate how the eletromagnetic wave propagates in metamaterials and some applications of metamaterials.It is known that computer simulation of metamaterials plays a very important role in the construction and application of metamaterials.For example, in October 2006, researchers from Duke University of USA successfully designed a 2D cloaking device through the numerical simulation.However, the well-posedness of those metamaterial models proposed by engineers have never studied by mathematicians yet. Because of dispersivity,the governing equations of metamaterials become much more complicated than the standard Maxwell's equations in free space. Furthermore, since all unknowns are in three-dimensional space and time-dependent, solving the metamaterial Maxwell's equations accuratly and efficiently is very challenging. Our goal of this project is to develop a series of mathematically robust,efficient and accurate time-domain finite element schemes to simulate the wave propagation in metamaterials and find some potential applications of metamaterials.

在2000年,美国UC-San Diego大学的物理学家功地构造了一种人工纳米材料，其介电常数及磁导率可同时为负，从而得到所谓的负折射率超材料。从2000年后因其独特的特性，超材料的研究引起了各行业科学家与工程师的关注。这里，我们计划通过数值模拟来研究电磁波在超材料中的传播及其应用。数值模拟在超材料的设计及应用中起着非常重要的作用。例如，在2006年10月，美国Duke大学的研究者通过数值模拟成功地设计出一个二维的隐身装置。然而，工程师们提出的超材料模型从未被数学家严格证明其正确性。由于其耗散性及弥散性，超材料的控制方程比传统的空气介质中的Maxwell方程要复杂得多。考虑到所有未知量都是三维并且随时间变化，精确而有效地求解超材料方程是十分困难的，亟需数学家的参与。我们的目标是发展一系列数学上正确，并且高效而精确的时域有限元算法，用来模拟波在超材料中的传播及应用。

在过去的4年里，我们对超材料模型进行了系统的研究：证明了许多模型方程的适定性，设计分析了精确有效的时域有限元方法求解这些模型方程，并实现了各类算法。一些重要结果罗列如下。这些结果将有助于科学家们更进一步了解超材料的性质及其更广泛的应用。也将鼓舞更多的应用数学家及研究生投入到这一有趣的研究方向上来。..1.在2013年我们对超材料Drude模型构造了一种新的时域有限元方法，进行了反向波传播的模拟，该算法具有更小的计算量和储存量，大量数值试验验证了算法的有效性，该研究结果发表在计算数学顶级杂志“SIAM Journal on Scientific Computing”。..2.我们对电磁波隐身的模型问题构建了自适应有限元算法，数值试验验证了该算法的有效性，并模拟了多种形状的电磁隐身装置。该研究结果发表在计算数学著名SCI杂志“Journal of Computational Physics”上。..3.利用单元恢复技术首次得到了三角形单元上棱有限元方法的超收敛结果，该研究结果在著名SCI杂志“Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering”。..4.利用零折射率超材料设计了一套电磁波全反射及隐身的装置，该研究结果在著名SCI杂志“Applied Physics Letters”。..5.我们研究了著名的时域地毯式隐身模型的适定性，设计了一种时域有限元算法来求解该模型，并证明了有限元算法的稳定性。三个地毯式隐身的数值算例验证了模型与数学理论的正确性。这个研究成果是关于地毯式隐身模型得到的第一个数学理论分析，该结果发表在著名期刊“SIAM Journal on Scientific Computing”。..6.我们研究了著名的圆形及椭圆形隐身模型方程。我们给出了首个解的存在性及稳定性证明。并设计了时域有限元方法再现了它们的隐身效果。该结果发表在著名期刊 "Mathematics of Computation"。..7. 我们对 Peter Monk 早在1992年发现的最低阶四面体棱单元的超收敛现象首次给出了严格的理论分析,并用数值算例再次验证了超收敛的存在性。该结果发表在著名期刊 "Journal of Scientific Computing"。