两类特殊非线性方程组的算法与理论研究

In this project, we will investigate algorithms and theory for two classes of special nonlinear equations which have many real applications such as in variational inequality, mathematical finance and mathematical programming. We mainly study the following problems. (1) The monotone nonlinear equations F(x)=0, where F is a continuous and monotone mapping from R^n to R^n. We will study whether the hyperplane projection type regularized Newton method has quadratic convergence rate and design Newton type algorithms with truly global and local quadratic convergence properties. We will discuss whether the PRP type conjugate residual methods have Q-linear convergence rate. Moreover, we will propose some FR type conjugate residual methods and shortest residuals methods for solving large scale problems, study their convergence properties and test their computational performance. (2) The absolute value equation Ax-｜x｜=b, where ｜x｜ is the vector with absolute values of each component of x. When this equation has many solutions, we will study its best approximate problem and construct efficient algorithms for solving this problem. Moreover, we will discuss the theory on error bounds and perturbation bounds for this equation and give their good estimations.

本项目研究两类在变分不等式、数理金融、数学规划等领域具有广泛应用的带特殊结构的非线性方程组的算法与理论。主要研究内容包括： (1)单调非线性方程组F(x)=0，其中F是R^n到R^n的连续单调映射。研究求解该方程组的超平面投影型正则化牛顿法是否具有二次收敛速度，构造具有真正意义全局收敛和二次收敛的牛顿型算法。研究求解大型单调非线性方程组的PRP型共轭残量方法是否具有Q-线性收敛速度。构造新的求解大型问题的FR型共轭残量法和最短残量法，分析其收敛性质，验证其数值效果。 (2)绝对值方程 Ax-｜x｜=b,其中｜x｜为x的每一个分量取绝对值后得到的向量。研究该方程多解时其解集的最佳逼近问题，探讨求最佳逼近解的有效算法。研究该方程的误差界理论和扰动理论，给出比较好的误差界和扰动界估计。

本项目研究了求解单调非线性方程组、对称非线性方程组、无约束优化等问题的几种数值方法及相关理论。主要结果如下：（1）提出了一种求解对称非线性方程组的无导数方法，该方法无需计算问题的雅可比矩阵，适合求解大型问题。在适当的条件下，我们证明了该方法具有全局收敛性质和线性收敛速度；（2）提出了一种求解对称非线性方程组的PRP型算法，该方法只需要计算问题的残量，无需计算和存贮矩阵，该方法是求解无约束优化问题的标准PRP共轭梯度法的推广，利用问题的对称性结构，我们证明了该方法具有全局收敛性质，此外，我们将该方法推广到求解非光滑对称非线性方程组；（3）证明了一类具有下降性质的PRP残量型算法求解单调非线性方程组具有Q-线性收敛速度，此外，提出了一种求解单调非线性方程组的投影型PRP方法并证明了其全局收敛性，该方法充分利用问题的单调性结构，结合投影超平面技术，无需计算问题的雅可比矩阵，只利用问题本身的残量，适合求解大型问题。此外，该方法能求解一些来自于单调变分不等式得到的非光滑非线性方程组；（4）通过利用问题的特殊结构，我们将矩阵模型校正问题转化为一个等价的约束优化问题，对该等价优化问题，我们提出了一种邻近点算法并建立了其全局收敛性定理；（5）本项目到结题为止已完成学术论文9篇，其中7篇已正式发表，2篇已被接收录用，即将发表；7篇已发表的论文中有5篇被SCI检索。