多线性算子的若干重要问题的研究

Multilinear Harmonic analysis is an important component of modern Harmonic analysis. For a long time, I had been working on the Radon transform, linear operators, strong maximal operators and square functions. We have obtained a series of important research results. Related research has caused many new important fundamental problems and further developments. This project will mainly focused on the study of the following six aspects: 1.The study of various properties of the multilinear strongly maximal operators, including the two weight norm characterization of local strong maximal operators, regularity and continuity of multilinear type operators, etc. 2. The study of rough multilinear operators and the characterization of the compactness of such operators. Moreover, we will also consider the relationship between the compactness and the commutator functions; 3. We will study the dependence of the optimal constant and constant related to the dimensions for the strong maximal operator and multilinear maximal operators. We wish to obtain similar conclusions on some typical manifolds. 4. The two weight norm characterizations for multilinear operators will also be studied. Especially, the characterization of multilinear Littlewood-Paley squared functions and multilinear Hilbert transforms; 5.The properties of the spherical mean Radon transforms and its maximal operators will also be studied, we are concerned with the boundedness of them on various of function spaces. 6. We will try to study the variational type operators of multilinear singular integrals and their commutators. These efforts and works will greatly promote the research and enhance the development in related fields.

多线性调和分析是现代调和分析的重要组成部分。多年来，申请人在Radon变换、多线性算子、强极大算子以及平方函数等研究方面获得了一系列重要成果，相关研究引起了新的问题和后续发展。本项目将主要研究如下六个方面的问题：一、多线性强极大算子的各种性质，包括局部极大算子的双权刻画问题；二、粗糙核多线性算子的有界性问题和算子的紧性刻画问题，降低核函数的光滑性，并考察核函数充分光滑情形下，算子紧性与交换子函数之间的关系；三、研究强极大算子和多线性极大算子的最佳常数和常数对维数的依赖性问题，并考虑能否在流形上得到类似结论；四、研究多线性算子的双权刻画问题，特别是多线性Littlewood-Paley平方函数和多线性Hilbert变换的的双权刻画问题；五、研究极大球面平均Radon变换及其极大算子的各种性质。六、研究多线性奇异积分及其交换子算子簇的变差算子。这些工作将大大推动相关领域的研究和发展。

该项目聚焦调和分析中多线性算子的若干重要问题，重点围绕极大算子的正则性和连续性问题，交换子的紧性问题，双权刻画问题，以及最佳常数问题等开展了系统深入的研究，获得了一大批的重要科研成果。所获成果主要有：1.首次系统研究了强极大函数的连续性和正则性问题，而且直接做到多线性强极大函数情形。建立了强极大函数在一系列一般函数空间上的连续性和正则性结果,研究了局部极大算子的连续性和正则性以及极大奇异积分算在几类函数空间里的有界性和连续性问题，还研究了一类双线性极大函数在端点时候Sobolev正则性和一类多线性极大函数的交换子的正则性和连续性问题,以及图上的极大函数的相关问题。2.系统研究了多类重要算子的交换子的紧性和加权紧性问题，所研究算子包括多线性奇异积分算子、振荡积分、拟微分算子、平方算子和带薛定谔算子的各类算子等。引入了一类新的比VMO小，比CMO空间大的函数空间，并给出了空间刻画和一些加权紧性的刻画。3.研究了算子范数的最佳常数和常数对维数的依赖性问题，主要研究了奇异积分和Hardy-Littlewood极大算子、Marcinkiewicz积分的弱型极限行为，去掉了已知结果的光滑性条件，给出了核函数完全粗糙LlogL核时的结果，并得到了最佳常数的新的上下界控制。还研究了分数次极大算子、强极大算子等的弱极限行为。4.建立了多线性拟微分算子局部衰减估计，并得到了混合弱型加权不等式，对多线性拟微分算子的交换子给出了加权的深刻估计。还研究了多线性拟微分算子与加权BMO函数生的迭代交换子，获得了其Bloom型双权估计的定量加权界和相应的Cp型加权估计。在二进算子情形下给出了双线性分数次积分算子和BMO范数的等价刻画；5.研究了多线性奇异积分及其交换子算子簇的变差算子的有界性等问题和恒等逼近算子列的变差算子的加权Hardy空间的刻画问题。6.研究了多线性拟微分算子和两个奇异积分算子的复合在重排不变函数空间的性质。项目所研究内容系统深刻，这些都是调和分析中非常核心和基本的问题，所获成果必将推动相关领域的研究和进展。