有关Riordan阵及Riordan群的研究

The theory of Riordan arrays and Riordan group is an important research topic in combinatorics, and has been widely used in the study of combinatorial sequences, combinatorial identities, lattice paths, etc. Based on our earlier works, in this project, we will further explore this theory. The contents are as follows: (1) By the fact that the Riordan group and the Sheffer group are isomorphic, we combine the Riordan arrays and the Sheffer sequences with some other general concepts, and study the properties of the Riordan arrays and the Sheffer sequences, so that we can establish the common characteristics of some combinatorial sequences, and find unified approaches to some combinatorial summations, identities and inverse relations. (2) We study the algebraic structures of the Riordan group and the Sheffer group, construct pseudo Riordan involutions, establish the relations between the inverse, complementary, and dual arrays of a given Riordan array, and study the corresponding polynomial sequences in the Sheffer group. (3) We study the relations between some Riordan arrays and some lattice paths, and give the lattice path interpretations of some Riordan arrays and combinatorial sequences. This project has scientific significance for not only helping us understand better the theory of Riordan arrays, the theory of Sheffer sequences and umbral calculus, and some combinatorial sequences in combinatorics, but also providing new theories and methods for the study of the related fields.

Riordan阵与Riordan群是组合数学的重要研究课题，在组合序列、恒等式、格路等领域有广泛应用。基于我们前期的工作，在本项目中我们将对此开展进一步研究。内容包括：（1）基于Riordan群与Sheffer群的同构，将Riordan阵、Sheffer序列与其他一般性概念相结合，研究Riordan阵与Sheffer序列的性质，发现某些组合序列的共性，寻找处理组合和式、恒等式、反演关系的系统方法；（2）研究Riordan群与Sheffer群的代数结构，构造伪对合Riordan阵，研究Riordan阵的逆阵、补阵、对偶阵间的关系及其在Sheffer群中的对应；（3）研究Riordan阵与格路的联系，给出一些Riordan阵及序列的格路解释。本项目的实施将加深对Riordan阵理论、Sheffer序列与哑运算理论及一些特殊组合序列的了解，为这些领域的研究提供新理论和新方法，具有重要的科学意义。

Riordan阵与Riordan群是组合数学的重要研究课题，在组合序列、恒等式、组合计数等领域有广泛应用。在本项目中，我们对Riordan阵及相关课题开展了研究，取得一系列成果。主要研究内容如下：..（1）利用哑运算理论及生成函数方法，给出了具有权序列的指数型对称Sheffer序列的刻画，证明了三类具有特殊权的对称Sheffer序列本质上是Charlier、Meixner、Krawtchouk多项式序列的常数倍。应用级数的Hadamard乘积，提出了广义Riordan阵的新的刻画，证明了广义Lucas u序列、v序列、广义Humbert多项式序列都与（广义）Riordan阵相关。研究上述一般多项式序列的性质及相互关系，系统得到一些经典多项式序列的性质。..（2）基于Riordan群与Sheffer群的同构，研究了Riordan补阵与Sheffer补序列的性质，特别研究了Lucas u序列、v序列对应的U矩阵、V矩阵的逆阵、补阵、对偶阵之间的关系，给出相应的逆阵的第零列是对数凸的类Catalan序列的条件，并利用加权Motzkin路给出逆阵中元素的格路解释，将Riordan阵理论中组合计数、组合不等式的研究与Riordan阵相应多项式序列的研究更紧密关联。..（3）利用Riordan阵、Bell多项式系统建立了调和数、超阶乘、Barnes G函数等特殊组合序列、特殊函数的渐近展开式，研究了展开式中参数序列的性质，并寻找获得缺项型公式的条件。..（4）利用Bell多项式，结合特殊函数积分、交错多重zeta值、多重多对数函数等，研究了Euler和及一些相关级数。给出了Euler和的多重zeta值表达式，证实了Flajolet和Salvy的论断。进一步建立了含2的负幂次的Stirling和与Euler和、含奇调和数的Euler和、Euler-Apéry型级数等一系列级数的表达式，并给出相应的符号计算程序。建立一些Euler和与交错多重zeta值的恒等式，证明了Borwein等人以及Xu提出的猜测公式。..我们的结果丰富了组合数学中Riordan阵、Sheffer序列及组合和式的理论，为进一步研究组合序列的共性，寻找处理组合和式、恒等式的系统方法提供了借鉴。