饱和概率空间及其在博弈论中的应用

The theory of saturated probability space, in which the subspace restricted to any non-negligible set cannot be countably generated, has found important applications in many branches of economic theory. For example, the theory of correspondences and their selections, the foundation of the exact law of large numbers, the purification of measure-valued mappings, and the theory of nonatomic games either with a continuum of players or with finite player and diffused private information. This project is a follow-up of the existing literature. The purpose is to investigate the existence of the pure-strategy Nash equilibria in the following two game-theoretic models. One is the games with a continuum of players and Banach-valued actions; the other is some important extension for the private information games, either with interdependent information structure or with discontinuous payoff structure.

近年来，饱和概率空间，即测度限制在每一个非平凡的子集上的子空间都不是可数生成的空间，在经济理论多个分支中取得了重要的进展；这些分支包括多值函数及其选择理论，确切大数律的确立，一般的纯化定理的证明，以及在群众博弈及其具有分散私人信息的博弈中纯策略纳什均衡的存在性。本项目主要是基于上面的进展对以下两类博弈的纯策略纳什均衡的存在性进行深入研究。一是策略取值于Banach空间的群众博弈，在此博弈中，我们有连续多个玩家，并且玩家的收益函数连续地取决于玩家自己的策略以及所有玩家策略的均值。二是有限玩家私人信息博弈的某些拓展，比如信息间具有相关性，或者收益函数不连续时的博弈。

本项目主要研究了饱和概率空间，即其sigma代数限制在任意一个非零测集合上都不可以被可数生成的空间，在博弈论模型中的应用。我们在这里主要考虑两大类博弈理论模型：一类是群众博弈，即所有玩家的集合可以被一个无原子的概率空间来表示，另一类是包含有限个玩家的具有不完全信息的博弈模型，即每个玩家的Type空间都可以用一个无原子的概率空间来表示。我们取得的主要进展如下 (一). 群众博弈。 在一篇发表在Economic Theory上的合作论文(合作者，孙祥)，我们研究了一类群众博弈模型，这里每个玩家的策略可以在一个无穷维的Banach空间上取值。我们在这类模型中发现，如果所有玩家的空间被Lebesgue空间表示的话，总会有一个群众博弈被构造出来使其不存在纯策略的Nash均衡。但是，如果玩家空间被一个饱和概率空间来表示的话，每个这样的群众博弈总会存在纯策略的Nash均衡。最后，固定一个无原子的概率空间来表示玩家空间，固定一个取值于无穷维的Banach空间的策略空间，如果每个这样的群众博弈都有一个纯策略的Nash均衡，那么玩家空间必须是饱和概率空间。这样为了保证在这一类群众博弈模型中纯策略的Nash均衡的存在性，饱和概率空间来表示玩家空间的不但是充分的，也是必要的。(二)非完全信息博弈。在和M Ali Khan的另外两篇合作论文中，我们研究了饱和概率空间在具有独立私人信息博弈论中纯策略Bayes-Nash均衡存在性的关系。这类模型包含有限个玩家，每个玩家可以选取的Action空间为一个无限的紧致可度量空间。我们发现，如果每个玩家的信息空间（Type）空间都有一个饱和概率空间来表示的话，每个这样的非完全信息博弈中总存在纯策略的Bayes-Nash均衡。同样的，如果固定有限个玩家，固定用一个无原子的概率空间来表示每个玩家的Type空间，固定每个玩家一个包含无限元素的紧致度量空间来表示每个玩家的Action 空间，如果有同时两个以上玩家的信息空间同时都不是饱和概率空间的话，我们总可以构造一个非完全信息的博弈使得其没有春策略的Bayes-Nash均衡。这些结果发表在Journal of Mathematical Economic上。我们后来取得了一个强化的必要性定理，已经被International Journal of Game Theory接受发表。