随机伊辛模型的相变研究

The Ising model is one of the most studied models in statistical physics. The model is easy to formulate while its analysis has provided the testing ground for developing new ideas and techniques in the study of critical phenomena. This project will focus on the study of Ising models with random couplings and the XY model. Our goal is to develop some theoretical tools for the study of critical phenomena. More precisely, we plan to develop a random current representation for the XY model to study its correlations; we will study the phase transition and correlations in the random field Ising model using its random cluster representation; we will also study short-range spin glasses like the Edwards-Anderson model, and our aim here is to understand and solve some questions that arise from the physics conjectures about possible phase transition in this model.

伊辛模型是统计力学中被研究的最多的模型之一。该模型的定义虽然非常简单，却为研究一般的临界现象提供了很多有用的新方法和技巧。本项目主要研究随机的伊辛模型和XY模型。我们的目标是建立和发展一些研究临界现象的数学工具。具体来说，我们准备找到一种随机流表示的方法来研究XY模型中的相关函数；另外我们将用随机簇表示的方法来研究带有随机外磁场伊辛模型中的相变和相关函数；最后我们还将研究短程自旋玻璃，我们的目标是理解并解决一些来自于物理学的关于相变存在性的猜想。

伊辛模型是统计力学中被研究得最多的模型之一。该模型的定义虽然非常简单，却为研究一般的临界现象提供了很多有用的新方法和技巧。..对于二维的近临界伊辛模型，我们直接从离散模型出发构造了一个高斯过程；该高斯过程的协方差函数应该对研究相对论量子场论中的质量谱非常有用。我们还研究了高维伊辛模型关于边界条件的依赖性；证明了自由边界下两点函数的渐进表现以及和周期性边界条件相似的一个简单模型的非高斯极限。最后，我们研究了李-杨零点关于耦合常数的移动性质；证明了每个零点关于单个耦合常数移动的局部性，第一个李-杨零点的单调性和热力学极限。