带有退化和奇异位势的非线性狄拉克方程和麦克斯韦-狄拉克方程的半经典解

Dirac equations and Maxwell--Dirac equations are important first order partial differential equations. The study on the existence of nontrivial solutions for nonlinear Dirac equations is a very important area in the nonlinear functional analysis theory. The Maxwell-Dirac equation, as the coupling of the Dirac equation and the Poisson equation, can better reflect the essential phenomena of some problems in physics. The present project mainly studies the following problems: 1) By a new type penalization method, we study the existence, multiplicity and concentration behavior of the semi-classical states for the nonlinear Dirac equations with degenerate potential function. 2) By using a local type regularity estimate and a similar penalization method, we study the semi-classical states for nonlinear Dirac equations, in which the potential function on the linear term is degenerate and the potential function on the nonlinear term is singular. 3) By a new modification of the Poisson equation and a similar penalization to the above, we study the existence, multiplicity and concentration results of the semi-classical states for Maxwell-Dirac equations.

狄拉克方程和麦克斯韦狄拉克方程是两类非常重要的一阶偏微分方程。非线性狄拉克方程的非平凡解的存在性研究一直是非线性泛函分析领域中的重要问题，而非线性麦克斯韦狄拉克方程，作为非线性狄拉克方程和泊松方程的耦合，能更好地反映物理学中某些问题的本质现象。本项目主要研究内容包括：1）利用一个新罚方法，研究带有退化位势函数的非线性狄拉克函数的半经典解的存在性，多重性和集中收敛性质。2）利用类似的罚的方法以及狄拉克方程的局部正则性估计，研究位势函数是退化的，同时非线性项前面的位势函数带有奇点并且在远处趋于无穷的，非线性狄拉克方程的半经典解的存在性和多重性和集中集中收敛性。3）通过对耦合的泊松方程进行的一个新的修改，并且结合之前提到的罚的方法，将上述结果推广到麦克斯韦狄拉克方程，考虑麦克斯韦狄拉克方程的半经典解的存在、多重、集中。

在项目的三年研究中，对于带有退化以及奇异位势函数的非线性狄拉克方程以及麦克斯韦狄拉克方程的半经典解进行了较为深入的研究，总体来说，取得了比较满意的成果。. 具体来说，1. 当狄拉克方程带有退化位势函数的时候，证明了半经典解的存在性，集中性，以及多重性。 2. 在非线性狄拉克方程具有奇异的假设下，证明了方程半经典解的存在集中以及多重性结果。 3. 关于带有退化以及奇异位势函数的麦克斯韦狄拉克函数，想过的结果已经做出，但没有发表。4. 利用对提到问题研究过程中发明改进的方法，考虑了带有log非线性项的薛定谔方程的半经典解的存在性，其中位势函数在远处是趋于负无穷的；考虑了基尔霍夫方程的相应结果；考虑了L2约束问题的多包解。