算子代数上的导子等映射的研究

The research of derivations and local derivations on Operator Algebras has become a hot branch in modern mathematics. In order to discuss the structure of operator algebras, many scholars have focused on mappings of operator algebras, among which the quasi-spatiality and spatiality of derivation on operator algebras have been the topic of the scholars' research. Meanwhile, researchers consider the conditions under which some properties of linear mappings, such as derivation, on operator algebras can be determined by the local property of them. In the research of local derivations, the centralizer is an important tool.We will disscuss study the spatiality of derivation, and the conditions under which a local derivation is a derivation on some operator algebras, such as standard operator algebras, CSL subalgebras of von Neumann algebras, JSL operator algebras. Jordan derivations and Lie derivations will be discussed.

导子、 局部导子是算子代数和算子理论中比较活跃的、有着重要的理论价值和应用价值的研究课题，一直受到国内外许多学者的关注. 本项目主要讨论算子代数上导子的空间实现性及刻画问题；进而，本项目还讨论具有某种性质的一大类算子代数（这一大类算子代数包括一些常见的算子代数，例如标准算子代数、von Neumann 代数中的CSL子代数、套代数、JSL 代数等）上局部导子映射何时成为导子的问题， 试图从新的角度获得映射成为导子的充分必要条件； 在此基础上，探讨导子、局部导子之间的关系，从而获得对于算子代数结构的新认识. 我们还想尝试将算子代数上的这些关于导子的研究推广到算子代数上的其他映射（比如Jordan导子、Lie导子）上去 .

导子是算子代数上一类重要的线性映射，它与算子代数上的自同构和上同调有着密切的联系，因而对导子的研究无论在理论上还是应用上都具有重要的意义，是算子代数理论的重要研究领域，在算子代数的研究中处于基础性的地位。.本项目历时3年，共发表（其中包括2篇已接收，2018年发表）与项目直接相关的科研论文9篇，其中5篇（包括2篇已接收，2018年发表）发表在SCI期刊，2篇发表在国内核心期刊，2篇发表在国外专业学术期刊。研究内容包括算子代数上的Jordan导子、Lie导子、中心化子、保持映射等问题。主要研究成果分为以下几个方面：1. 研究了算子代数上的导子。我们证明了von Neumann代数CSL子代数上的Jordan (α, β)-导子是(α, β)-导子，再把相关结论应用于Jordan导子；同时，证明了因子von Neumann代数上非线性斜Lie triple导子是可加*-导子；关于Lie导子方面，我们证明了，在没有中心交换投影的von Neumann代数上的*-Lie 可导映射是一个可加*-导子与一个把交换子映射为零元的映射之和。2. 在保零化子的映射和可乘映射方面，一方面，刻画了一般环上的保零李积的映射的特征，证明了没有I_1型中心直和项的von Neumann代数上的满射Φ是强保斜交换映射当且仅当Φ是左中心化子；另一方面研究了算子代数上的Jordan中心化子的刻画，为研究局部导子提供可借鉴的思想。3. 在保持映射方面，证明了因子von Neumann代数上保持Jordan triple (-1)-*-乘积的双射Φ，或者是线性*-同构或者是共轭线性*-同构，或者是这种同构乘以（-1）。 最后证明了没有中心交换投影的von Neumann代数上的保持X*Y + Y*X 的非线性映射是一个线性*-同构与一个共轭线性*同构之和。