有限半群与组合半群

Finite semigroups（semigroup varieties） and combinatorial semigroups are not only the important research contents of semigroup theory, but also have been widely applied to branches of information science, theoretical computer science, symbolic dynamics, analysis, graph theory, cryptography and so on. This program will do some researches on finite semigroups, eventually regular semigroups and combinatorial semigroups, various finite basis problems for finite semigroups and related semigroup varieties will be studied, and methods of solving the Tarski's finite basis problem for finite semigroups will be explored; semigroup algebras of some finite semigroups and their representation theory will be studied; Cayley graphs of finite groups and finite semigroups and their endomorphism monoids will be explored, the connection between the combinatoric characters of graphs and the algebric properties of their endomorphism monoids will be determined; the program will generalize various transversals of regular semigroups, introduce various transversals of eventually regular semigroups, and characterize eventually regular semigroups with certain transversals; this program will also develope the method of prefix closed section in the study of languages, and study the decomposition theory of relatively regular languages and relatively disjunctive languages. The research of this scheme will enrich the research contents of the theory of semigroups, which has not only important theoretical significance, but also very good application prospects.

有限半群（半群簇）和组合半群不仅是半群理论的重要研究内容，而且在信息科学、理论计算机科学、符号动力学、分析、图论、密码学等学科都有广泛的应用。本项目围绕有限半群、毕竟正则半群和组合半群开展工作，研究有限半群及相关半群簇的各种有限基问题，探索解决有限半群Tarski有限基问题的方法；研究有限半群的半群代数及其表示理论；研究有限群和有限半群的Cayley图及其自同态幺半群，建立图的组合特征与自同态幺半群的代数性质之间的联系；推广正则半群的断面理论，引入毕竟正则半群的各种断面，刻画具有各种断面的毕竟正则半群；进一步开发前缀封闭截面方法在语言理论研究中的应用，研究相对正则和相对析取语言的分解理论。本项目的研究将丰富半群理论的研究内容，不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用前景。

有限半群和组合半群不仅是半群代数理论的重要研究内容，而且在计算机科学、形式语言、密码学等其它相关学科中有重要的应用前景。本项目主要围绕半群(簇)的Tarski有限基问题、半群代数及其表示、半群的Cayley图与图的自同态幺半群、量子仿射代数、序S-系理论与序(超)半群、组合半群以及积分微分代数等方面开展研究工作，所得主要研究成果有：. 围绕半群(簇)的Tarski有限基问题，建立了若干非有限基/有限基半群(簇)的充分条件，解决了一些半群（簇），如：部分扩张单射变换半群、广义Rees矩阵半群、Kauffman幺半群和Wire幺半群、Kiselman 幺半群、中国幺半群、所有4阶（幺）半群生成的半群簇以及环与半环上的2阶上三角矩阵半群等，的有限基问题，解决了本领域的一些公开问题；研究和刻画了纯整半群代数的半本原性，推广了逆半群代数的相关结果；刻画了R-幂幺半群代数的\pi-半单性；研究了一类U-半富足半群代数的胞腔性，给出了这类代数是胞腔代数的充分必要条件；研究了C-局部适当半群代数，确定了该代数的非同构不可分解模；研究了有限链上保持凸子链不变的保序变换幺半群，刻画了该半群上的Green和Green*关系，刻画了它的正则性和富足性，解决了相关的计数问题；研究和刻画了一些半群（群）Cayley图的匹配可扩性和半群的半Cayley图的自同态幺半群；研究了量子仿射代数的极小仿射化模，特别地，证明了Hernandez-Leclerc猜想对A,B型极小仿射化模是成立的；确定了C3型量子仿射代数满足的扩展T-系统；给出了G2型量子仿射代数的极小仿射化模的M-系统，研究了G2型量子loop代数的极小仿射化模的分次极限；研究和刻画了序S-系的同调性质和序（超）半群。研究了相对正则语言和相对析取语言的分解、结构和分类问题，首次提出并研究了所谓内缀码-析取语言; 研究了积分微分代数与平均代数。本项目的研究成果丰富了半群代数理论及相关领域的研究内容，具有重要的理论意义与学术价值。