离散时间系统的随机镇定理论及其在数值计算的应用

Over the past decades, stochastic systems described with stochastic differential/difference equations have been intensively studied since stochastic modelling has come to play an important role in many branches of science and engineering. An area of particular interest has been the control of stochastic systems, with consequent emphasis being placed on the analysis of stability in stochastic models. As is well known, noise may play a stabilizing or destabilizing role in continuous-time systems. But, for analysis and design of discrete-time systems, noise is traditionally treated as disturbance in the literature. It is more difficult to reveal the stabilizing role of noise in discrete-time systems. And it is challenging to study and exploit stochastic stabilization of discrete-time systems. However, as we see, whenever a computer is used in measurement, computation, signal processing or control applications, the data, signals and systems involved are naturally described with discrete-time processes. The theory of discrete-time systems is useful not only in design and analysis of control systems but also in scientific computations. This project will be dedicated to developing the general theory on stochastic stabilization/destabilization of discrete-time systems and its applications. The study of the theory has inspired novel and more applicable control design methods that exploit the stabilizing role of noise in discrete-time systems. Moreover, the theory of stochastic stabilization/destabilization for discrete-time systems may provide some approaches to an important problem in computer simulations and numerical solutions of stochastic differential equations, that is, how to find the discretization schemes which preserve the stability/instability property of the underlying stochastic differential equations. The project is to develop some foundational theory in the interdisciplinary studies involving control theory, mathematics and computations.

随机系统理论被广泛应用于科学与工程的多个学科，计算技术的发展和普及使得离散时间随机系统理论愈来愈受关注。众所周知，噪声在连续时间系统中可以起镇定或反镇定的作用。但在离散时间系统分析与综合的传统理论里，噪声被作为干扰处理。在离散时间系统中，噪声的镇定作用非常隐蔽，使得其研究和应用更具挑战性。本项目将发展离散时间系统的随机镇定理论，更全面地展示离散时间系统中噪声的镇定及反镇定作用。这一工程基础理论不但开启了离散时间系统利用噪声镇定的控制方法新探索，而且非常有助于解决随机系统（如随机微分方程）数值计算的重要问题——探索使得其离散化格式（随机差分方程）保持与原连续时间系统（随机微分方程）一致的（几乎必然或p阶矩意义上）稳定属性的条件。这在连续时间随机系统的计算机仿真和数值解计算中十分重要。因而本项目属于控制、计算机和数学的交叉学科领域，其研究有着深刻的理论意义和重要的实际应用。

由于物理定律通常表达为微分方程的形式，⾃然界和⼯程界中⼏乎所有系统属于以微分方程描述的连续时间系统。描述实际系统的微分方程一般伴随着各种随机因素，如环境噪声、系统参数及输⼊输出的测量误差或系统本⾝的随机属性等。当这些随机因素的影响不可忽略时，以随机微分方程描述的连续时间系统常常更真实地描述系统的情况。另一方面，在测量、计算、信号处理或控制应用中使⽤计算机时需要把所涉及的数据、信号和系统以离散时间过程的形式表达。因而，人们通常由描述实际问题的连续时间系统导出合适的离散时间系统（例如微分方程数值格式或神经网络等），然后运用机器计算、分析和解决相应的实际问题。连续时间系统和离散时间系统也分别称为物理系统和信息系统。本项目主要研究内容正是信息和计算时代有着现实迫切性的重要基本问题：(I) 物理系统和信息系统的本质关系；(II) 它们如何协作使得其共同构成的系统具有如稳定性等重要动力学性质。 本研究创立了一类由两个（物理和信息）子系统整合而成的随机脉冲微分方程作为描述信息物理系统的规范形式，并为所提出的新一类随机脉冲微分方程建立了Lyapunov稳定性基础理论。在数值计算的应用上，我们推导出以上述创立的随机脉冲微分方程规范形式表达的随机微分方程数值方法的信息物理系统，揭示了物理系统和信息系统本质关系：两者不是文献中两个关联却分离的系统而是整个信息物理系统的子系统。应用所建立的随机脉冲微分方程稳定性基础理论，我们证明和展示了随机微分方程及其Euler-Maruyama方法之间稳定性的内在等价关系。在这些理论成果的基础上，我们发展出线性随机微分方程的信息物理系统理论并提出其均方稳定性的充要条件，即信息物理系统Lyapunov线性矩阵不等式。本研究为信息物理系统发展奠定了坚实理论基础并由此引出许多意义重大的工作，例如发展无穷维动力系统的信息物理系统理论等。本项目的另一项工作《控制滞后系统的脉冲镇定》也为研究具有时滞的信息物理系统提供了相关理论和技术准备。