求解电磁散射问题的一类新型有限元方法研究

针对三维中高频电磁散射问题（时谐麦克斯韦方程组），研究一类基于边界变分公式的新型有限元方法及求解相应离散系统的快速算法。研究目标是设计高效的算法，建立严格的数学理论，并编制相关的数值软件。本课题所涉及的模型具有很强的工程应用背景，它们是模拟电磁波传播规律的基本模型，"计算电磁场"也是当前科学计算领域中的热点之一。由于中高频时谐Maxwell方程组的解析解是复空间上高度振荡的向量场、所导出的离散系统是强不定的，我们的研究将面临许多困难点，特别对高频情形该课题是一公开问题。为了解决这些困难，我们必须提出新的想法、发展新的技巧。本项目是既富有挑战性，又具有重要理论意义和实际应用价值的研究课题。

如何有效地求解中、高频Helmholtz方程和时谐Maxwell方程组是科学工程计算领域的一个前沿问题。本项目研究求解Helmholtz方程和时谐Maxwell方程组的一类新的离散化方法----平面波方法, 它比其它离散化方法具有明显的高精度。我们的主要成果为：.（1）发展了求解Helmholtz方程和时谐Maxwell方程组的平面波最小二乘方法，方法的优点是对实波数和复波数情形是一致有效的;.（2）针对有界区域情形证明了逼近解的误差估计，该误差不受大波数的污染；.（3）提出了求解非齐次Helmholtz方程和时谐Maxwell方程组的有限元-平面波算法;.（4）构造了求解所导出离散系统的区域分解预条件子;.（5）做了大量数值试验验证了理论结果的正确性和算法的高精度;.（6）在JASMIN框架下并行实现了平面波最小二乘方法。数值结果表明区域分解预条件子对大波数情形是很有效的。