贝尔曼-伊萨克方程的研究和金融应用

We will investigate the elliptic and parabolic Bellman-Issacs equations and applications in mathematical finance. Bellman-Issacs equations are fully nonlinear partial differential equations. It is basic and important in the theory of nonlinear partial differential equations. Bellman-Issacs equations are mathematical models of many fianacial problem, such as optimal portfolio selection, optimal target problem(hence some geometric flow equation). Bellman-Issacs equations are also related to nonlinear expectation thorey. We will study exsitence、uniqueness、regularity、convexity for solutions of Bellman-Issacs equations and discuss the convergence rate for discrete scheme.The relationship between Bellman-Isaacs equations and stochastic optimal problem and applications in mathematical finance will be considered.

本项目研究椭圆型和抛物型贝尔曼-伊萨克方程的性质，以及这些性质在数学金融等领域的应用。 贝尔曼-伊萨克方程是一类重要的完全非线性偏微分方程，其定性研究在偏微分方程理论中是重要而又基本的，有重要的理论价值。同时，椭圆和抛物型贝尔曼-伊萨克方程来源于随机最优控制问题，是金融数学中许多随机优化问题的偏微分方程模型，通过最优目标等与几何流方程相关，也与非线性期望对应的非线性偏微分方程相关。 我们将讨论椭圆和抛物型贝尔曼-伊萨克方程解的存在性、唯一性、正则性、凸性等定性性质，讨论解的离散格式的构造、收敛性和误差估计，讨论这些方程与随机问题的联系，及其在数学金融、微分几何等的应用。研究工作的核心和基础是完全非线性偏微分方程的相关理论和随机最优控制理论的结合。

我们研究了“贝尔曼方程及其在金融问题中的应用”。我们紧密结合金融问题的背景，结合随机分析、随机控制方法和偏微分方程理论，研究贝尔曼方程古典解和粘性解的性态，讨论离散格式的收敛性和误差估计，进行定性和定量两方面的研究，并确定最优控制实施策略，应用于最优投资消费和资产定价等金融问题。