基于离散分析方法的谱图理论研究及其在高维数据降维中的应用

This project mainly studies the theories and methods of discrete geometric analysis and partial differential equations on graphs and hypergraphs, and use these new theories and methods to study the spectral graph and hypergraph theory, for example, the eigenvalue estimate, heat kernel estimate and the functional inequality. By using the new results of spectral graph theory, dimensionality reduction and data representation will be further studied. More specifically, we will study the curvature problem and the associated discrete partial differential equation problem on graphs, for example, the definition of the curvature on graphs in different ways and their comparison, discrete heat equation problem with Dirichlet boundary on graphs and its application, the introduction of the discrete nonlinear partial differential equations on graphs, and the curvature problems on hypergraphs and random graphs together with random walks on graphs. By the above theories and methods, we will study the eigenvalue estimates and heat kernel estimates with their application in dimensionality reduction and data representation. This project is a joint area of graph theory, geometric analysis, partial differential equation, probability and statistics, which can provide a new analytical method for dimensionality reduction and data representation, data mining, image processing and so on.

本项目主要研究在图和超图上得到离散的几何分析理论和偏微分方程理论及其方法，用所得到的新结果来探讨图和超图的谱理论（如图上的特征值、热核估计和泛函不等式等)，并用谱图理论的新结果来处理高维数据的降维问题。具体的研究内容包括：（1）图和超图上的曲率和偏微分方程相关问题的研究，如在图上按不同方式定义曲率及这些定义之间的比较，图上带有Dirichlet 边界的离散的热方程解的问题及其应用，图上相关的离散的非线性偏微分方程的引入，超图上的曲率问题；（2）随机图上的曲率问题和图上的随机游走；（3）图上基于曲率和偏微分方程的特征值估计、热核估计和热核近似表达式等，以及这些结果在高维数据降维中的应用。本项目是图论、几何分析、偏微分方程、概率统计等的交叉领域，可以为高维数据的低维表示、数据挖掘、图像处理等问题提供一种新的理论和分析方法。

大数据时代的到来，人们面临的数据维度已经越来越高，对高维数据进行降维处理势在必行。本项目主要研究图上离散的几何分析方法和偏微分方程，用所得到的新结果来探讨图和超图的谱理论，如图上的特征值、热核估计和泛函不等式等，并用谱图理论的新结果来处理高维数据的降维问题。本项目利用图G的第一特征值和图上的曲率维-数不等式证明了一类薛定谔方程解的存在性; 得到图上一类p-Laplacian 方程特征值的性质及解的存在性; 得到了图上的porous medium方程解的梯度估计等一系列结果。本项目是图论、几何分析、偏微分方程、概率统计等的交叉领域，可以为高维数据的低维表示、数据挖掘、图像处理等问题提供一种新的理论和分析方法。