某些高次非线性数学物理方程的若干问题研究

There are many good results for some nonlinear equations of mathematical physics which have their physical meaning, such as generalized Camassa-Holm equation, when the order of the nonlinear part or differential part is low. However, there are few results when the order of the nonlinear part or differential part is high. We have tried such high order nonlinear equations ofmathematical physics in our previous works. We want to go on this study by using qualitative theory of differential equations and bifurcation theory of dynamic systems and also space theory of functional analysis and simulation methods in this project. We want to use these tools to study a family of equations of mathematical physics such as generalized Camassa-Holm equation, generalized KDV equation, generalized KP-BBM equation and Klein-Gordon-Zakharov equation. By using these methods, we want to get the conditions of the existence of wave solutions, exact solutions, bifurcations and also we will study their stability. We hope we can get some good and interesting results.

对于某些有实际意义的非线性数学物理方程，例如广义的Camassa-Holm 方程等，当非线性部分的次数或者微分的阶数较低时，许多文献对这些非线性方程进行研究过，但当次数或者阶数比较高时，前人的结果就很少，我们在前期的研究工作中，对这样的一些次数或阶数较高的非线性微分方程做过一些尝试，总结了一些经验教训，本项目拟利用微分方程的定性理论和动力系统的分支方法、泛函分析空间理论以及微分方程数值分析等理论结合起来，对广义Camassa-Holm 方程、广义KDV方程、MKDV-KP方程、广义KP-BBM方程以及广义Klein-Gordon-Zakharov方程等一些高次非线性数学物理方程作进一步的研究，研究各种非线性波解存在的条件、精确解表达式、分支及稳定性等。我们有望得到一些好的结果。

在流体力学、非线性光学、等离子物理、弹性力学、电磁学等领域内，常常遇到许多非线性数学物理方程解的问题，如孤子解的存在性、稳定性，还有周期波解、扭波解、爆破波解、无界波解等的存在性和表达式，都是实际应用中十分关注的一些问题。从国内外来看，对非线性数学物理方程的求解一直是一个热门的研究课题，同时也是非线性科学研究的前沿课题和重要内容。.利用微分方程定性理论、动力系统分支方法、符号计算以及数值模拟等多种方法综合研究高次非线性数学物理方程的精确行波解、分支相图以及行波解之间的联系. 首先, 利用行波变换, 把非线性波方程化为平面动力系统. 其次, 根据动力系统理论的特点, 利用连接奇点的轨线的特点结合轨线与行波之间的对应关系来研究非线性波方程的精确行波解的显式表达式, 相对于以前对该方程的研究, 我们所获得的精确解大部分都是新的, 这在一定程度上拓展了以前的工作.