几种高效算法的发展及其在临界现象的应用

蒙特卡洛（Monte Carlo）模拟是一个重要的科学工具，它被广泛地应用于高能物理、凝聚态物理、高分子物理以及其他许多复杂系统的科学研究。然而，大多数现有的蒙特卡洛算法由于"临界慢化"在临界点附近变得效率很低。本项目将探索新型团簇(cluster)算法，虫子(worm)，以及Sweeny算法的创新和发展，并且利用这些算法研究一些在统计物理以及凝聚态物理占重要地位的晶格模型。在算法的设计方面，我们将主要利用物理系统内含的对称性，物理系统在不同表象的变换，和高效的数据库结构。然后，我们将用严格的数学工具来分析这些算法，探讨他们的动力学性质和可能存在的"临界慢化"的原因。在物理问题方面，本项目将专注于：1)，通过模拟一些经典格点模型，探索巨正则系综和正则系综下临界现象的差别和关联；2），研究和观测一些晶格模型的相变，和准确地测定一些列新的物理参数（如临界指数）。

项目严格按照计划书内容执行，高效团簇算法的发展及应用，Worm算法的发展及应用以及Sweeny 算法的发展及应用均按计划有条不紊的进行。由于近年来关于量子模拟的Diagrammatic Monte Carlo方法逐渐成为探求量子多体系统的重要武器，本人相应尝试使用DMC技术攻克Fermi-Hubbard模型、J-Q模型等量子多体问题中的难题。相应的主要工作有：1、我们利用Monte Carlo模拟和transfer-matrix方法验证了4态Potts模型在任何欧拉面三角构型且其中一个子晶格格点自由度为4的晶格上有一个有限温度的相变，并且验证了这种相变的普适类。2、我们引入了一些random cluster模型的新的临界指数，并利用标度关系把它们和k-arm指数联系在一起，并利用高效Monte Carlo算法验证了这些预测。从而利用这些指数我们可以更加容易地从Monte Carlo模拟中得到k-arm指数。3、我们延续了之前08年的一项关于虫子算法（worm algorithm）的工作，发展了适用于O(n)圈模型全部临界分支的高效虫子算法，包括零温情形下的Fully-packed分支。这种虫子算法也是第一个能高效模拟Fully-packed分支的算法。我们利用虫子算法系统的研究了六角晶格上O(n)圈模型在三个临界分支上的行为，通过对比我们的数值结果和库伦气体理论，我们发现了一些几何观测量标度指数的严格表达式。并且将这项工作延续到三维O(n) 模型，确定一系列n值下的相变点和临界指数。 4、我们利用高效Monte Carlo算法研究了由二维XY自旋位型形成的渗流问题。对于一个给定的自旋位型，我们通过在自选矢量空间随机选取一个方向来构造渗流团簇。在对此类渗流模型详细研究后我们发现沿着渗流临界线上的渗流相变是Berezinskii-Kosterlitz-Thouless型。 5、 利用最新设计的worm 算法系统的研究了三角晶格上的Ashkin-Teller模型，得到了关于此模型的新的相图。同时，结合中国科学技术大学量子物理和量子信息部在“量子模拟”方面的实验进展，我们集中精力发展量子Monte Carlo算法，并应用到与实验相关的物理系统。现已开展利用图形Monte Carlo算法模拟Bose-Hubbard模型和Fermi-Hubbard模型、J-Q模型等量子模型。