基于空间拓展的自支撑曲面构造理论与应用研究

Self-Supporting Surface is a category of surfaces that can support their own weights with inner stress. It has good mechanical properties and is one of the most important surfaces in Computer Graphics and Geometric Modeling. However, construction of self-supporting surface is an extremely difficult problem, because the distribution of stress is difficult to determine, which brings difficulties in solving the equation of the surface, and there are only 2 free variables for self-supporting surface while 3 balance equations require to satisfy, which brings surplus constraints that break the existence of the solution. This project will begin from the relation of the self-supporting curve in 2D space, i.e. catenary and rotational minimal surface in 3D space, i.e. catenoid, probe the relation between the self-supporting surface in 3D space and rotational minimal super-surface in 4D space, and propose a new theory about the construction of self-supporting surfaces, then design construction algorithms from this theory, and project will also invent an applicable method for testing the support property by studying the stress and deformation tensor in triangular facets. This project will achieve inovations and breakthrough about the construction and testing of self-supporting surface. This project has very good theoretical significance and application value.

自支撑曲面是一类可以靠内部应力平衡自身重量的光滑曲面，它有着非常好的力学性质，是计算机图形学和几何造型中最重要的曲面之一，在建筑几何，弹性力学等领域有着重要的应用价值。然而自支撑曲面的构造却是一个极为困难的问题，因为自支撑曲面的应力分布难以确定，为曲面方程的求解带来困难，而且自支撑曲面只有两个自由变量，却需要满足三个维度的力学平衡方程，这导致约束条件过多而不能保证解的存在性。本项目将从二维空间的自支撑曲线——悬链线与三维空间中的旋转极小曲面——悬链面之间的关系入手，探索三维空间中的自支撑曲面与四维空间中的旋转极小超曲面之间的关系，给出一套全新的自支撑曲面构造理论，并依据这套理论设计自支撑曲面的构造算法；还将通过研究三角形面内的应力和形变张量给出曲面自支撑性质的可行检验方法。本项目将在自支撑曲面的构造方法和自支撑性质检验理论上取得创新和突破性成果。项目有很好的理论意义和应用价值。

自支撑曲面是一种内部的挤压力恰好平衡自身重力的曲面，在建筑设计中有着重要意义。相比正应力，剪应力和弯矩对材料有着更明显的破坏作用，而自支撑曲面的形状特性可以避免剪应力和弯矩的产生，使得曲面更加坚固。然而自支撑曲面的设计是一个很困难的问题，原因在于各向异性的应力张量形式复杂，在未知的曲面上也无法构造力学平衡方程。为了简化问题，通常对自支撑曲面的内应力视为各向同性的，这样应力被简化为一个数值。然而这样又会引起过多的约束，因为曲面的形状和应力的大小各能提供一个自由度，而在三维空间的三个维度都需要满足力学平衡方程。为了解决这个问题，本项目组给出了解决这个问题的关键思想——把曲面放到四维空间中，旋转构造超曲面，然后用数学推导证明了当四维空间的旋转超曲面是极小曲面时，它的超母线即为三维空间中的自支撑曲面。在这个理论结果的支持下，本项目组设计了一种自支撑曲面的构造算法：利用变分原理导出自支撑曲面的平均曲率满足的条件，再通过类似于常平均曲率曲面的迭代算法构造出自支撑曲面。为了检验构造结果，本项目设计了有限元求解器，计算自支撑曲面的应力分布。计算结果表明，实际误差不超过2%。同时也使用了先进的3D打印技术，打印出曲面的碎片，并在支架上拼按出曲面。实验表明，抽掉支架以后，曲面不仅不会倒塌，而且有一定的承重能力。本项目的研究方法有很高的理论创新性，发明的技术对建筑设计软件和有限元分析软件的开发也有着很高的实用价值。